中考数学几何证明压轴题

中考专题训练

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E 是梯形一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并

证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．

（1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，

FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线

相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =

3

5

，求CD 的长； （2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

图13－2

图13－3

图13－1 A ( B ( E )

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.

（1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.

7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，

DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C .

求证：∠ACB=3

1

∠OAC .

8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为

60．

⑴求AO 与BO 的长；

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.

①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶

C A

B

D

O

E

端A 沿NO 下滑多少米；

②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝

15，试求AA ’的长． [解析]

⑴AOB Rt ∆中,∠O=90,∠α=

60 ∴,∠OAB=

30，又ＡＢ＝4米，

中考数学经典几何证明题（一）

1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与

BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，

分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是

AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判

断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．

图 1 图2 图3

E

D

F E

D

A

A

B

A

C

D E

F

M

N

O

B

G

A

F

D

E

C

H

2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C

于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;

图1

D

(2)若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3)如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一

点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具…有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、

ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；

②AF=

21BC ；③当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时BD

BH 是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时DC

EC BC 21

是定值；

（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；