导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊的极限
几个常用极限：（1）1
lim 0n n
→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0
0lim x x
x x →=，00
11
lim
x x x x →=.
两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x
x e x →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
(e=…). 函数极限的四则运算法则：若0
lim ()x x f x a →=，0
lim ()x x
g x b →=，则 (1)()()0
lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0
lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0
lim 0x x
f x a
b g x b
→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞
==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞
⋅=⋅(3)()lim 0n n n a a
b b b
→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常
数)
)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）
00000()()()lim
lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=∆→∆→+∆-∆''
===∆∆. .瞬时速度：00()()
()lim lim
t t s s t t s t s t t t
υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()
()lim lim
t t v v t t v t a v t t t
∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''==
=00()()
lim lim x x y f x x f x x x
∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数
(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='
(4) x
x 1)(ln ='；e a x x
a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.
导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 复合函数的求导法则
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =
在点x 处的对应点
U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且
'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1． ()f x '是31
()213
f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2
2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3.
例 2.设函数()1
x a f x x -=-,集合M={|
()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若
M P,则实数a 的取值范围是
( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.
1
x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时
综上可得M P 时, 1.a ∴>
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.已知函数3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．
（I ）求24a b -的最大值；
（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数
()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一
侧），求函数()f x 的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I ）因为函数3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，
所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-2104x x <-≤．于是
