大学一年级高数期末考
试题及答案
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．求极限()x
x x x
x 30
sin 2cos 1lim -+→．
解： ()4
1
2cos 1sin lim
0-=+-=→x x x x ．
2．设0→x 时，()x f 与2
2
x 是等价无穷小，
()⎰
3
x
dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与
A ． 解：
由于当0→x 时，()⎰
3
x
dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim
3
=⎰→k
x
x Ax
dt
t f ．而
所以，161
lim
1
0=-→k x Akx ．因此，6
1,
1==A k ．
3．如果不定积分()()
⎰++++dx x x b
ax x 2
2
211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条
件． 解： 将
()()
2
2
211x
x b
ax x ++++化为部分分式，有
()()
()2
222211111x D
Cx x B x A x x b
ax x +++
+++=
++++， 因此不定积分()()
⎰++++dx x x b
ax x 2
2
211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系
数
0==C A ．
即
()()
()()()()()
222
22222211111111x x x D x B x D x B x x b
ax x +++++=+++=++++． 所以，有()()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++21122
22． 比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,1．所以，得1=b ．
5．计算定积分{}⎰-2
50
2,
1min dx x ．
解：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤-<=31
32221211
x x x x x x ．
所以，{}()()8
132212,
1min 2
52
2
1
10
2
5
=
-+-+=-⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3
sin 3θ
a r =，求曲线C 的全长．
解： 曲线3
sin 3
θ
a r =一周的定义域为πθ
≤≤
3
0，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为
()()()()a d a d a a d r r s πθθ
θθ
θ
θ
θθθπ
π
π
2
3
3sin 3
cos
3
sin
3
sin
30
2
30
2
4
26
2
30
2
2
==+='+=
⎰⎰
⎰． 二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数()()
()
n n x x x f 221sin lim +=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
解：
()()()()⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
>-=-=<=+=+∞→2
10212121
2121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．
因此211-=x 与2
1
2=x 是函数()x f 的间断点．
()00lim lim 2
12
1==---→-→x x x f ，()()1sin lim lim 2
12
1-==++-
→-→x x f x x π，因此21
-=x 是函数()x f 的第一
类可去型间断点．
()()1sin lim lim 2
12
1==---
→-
→x x f x x π，()00lim lim 2
12
1==++-
→→
x x x f ，因此2
1
=
x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．
7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限b
b ξ0
lim →．
解：
()x x f arcsin =在区间[]b ,0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得
()0110arcsin arcsin 2
--=
-b b ξ
．
所以，2
2arcsin 1⎪⎭⎫
⎝⎛-=b b ξ．因此，
令b t arcsin =，则有 所以，3
1lim
=
→b
b ξ
． 8．设()()
⎰--=x
y y dy e
x f 10
2，求()⎰1
dx x f ．
解：
