对线性代数课程教学体系及教学方法思考

线性代数课程思政的设计与教学实践作者：苏克勤曹殿立姬利娜侯贤敏曹洁来源：《高教学刊》2021年第27期摘要：基于课程思政的基本方式，依据系统理论的基本原则，提出了线性代数课程思政教学设计的基本路线和思政主题。

以此为基础，具体给出了课程思政的教学设计过程并介绍了作者的教学实践。

关键词：线性代数;课程思政;教学设计;教学实践中图分类号：G641 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）27-0189-04Abstract： Based on the basic way of ideological and political education and the basic principle of system theory， the basic route and theme of ideological and political teaching design of Linear Algebra course are put forward. On this basis， the teaching design process of ideological and political course is given in detail and the author's teaching practice is introduced.Keywords： Linear Algebra; ideological and political theory of curriculum; teaching design; teaching practice线性代数课程是大学数学的经典课程之一，是高等院校的一门重要的公共基础课，受益学生众多。

线性代数是代数学发展的高级阶段，承载着数千年代数学深厚的积淀和不断创新的成果，蕴含着丰富的马克思辩证唯物主义世界观和方法论，铭刻着古今中外数学家们求实创新、献身事业的科学精神，更是课程思政的沃土。

国防科技大学《线性代数》精品课程建设总结报告我校《线性代数》课程始于“哈军工”时期，当时的线性代数课程内容包含在《高等数学》课程中进行讲授，由孙本旺、卢庆骏等知名教授组成的教授会负责该课程的建设。

这门课程对学生影响最为广泛，被誉为“霸王课”。

我校《线性代数》课程2010年评为湖南省精品课程以来，课程组秉承“哈军工”优良传统，同时顺应教育教学改革的发展趋势，按照瞄准“一个目标”，寻求“两个突破”，争创“三个一流”开展课程建设，取得了比较突出的建设成效。

一、建立适合拔尖创新人才培养的分层次教学模式我校《线性代数》精品课程建设以教育部新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为基本指导原则，以我校人才培养的总目标为指导，根据新形势下我校线性代数教学对象的具体特点，对线性代数的课程体系进行了改革，建立了适合拔尖创新人才培养的、更有效的因材施教教学模式。

（1）钱学森创新拓展班线性代数，46学时。

在全校技术类学员范围内进行全面选拔，注重数学和英语基础，打破专业界限，组成钱学森创新拓展班，实施小班教学，由本课程的资深教授担任主讲任务，在使用自编教材《线性代数》的同时，参考国内外的著名教材，实施与国际知名大学接轨的线性代数教学理念和教学模式，在整个线性代数知识体系的基础上，加深或加强数学理论知识学习、应用能力以及数学方法、数学素质的培养。

（2）线性代数普通班，46学时。

除钱学森创新拓展班外，全校技术类学员和合训类学员按原院系和原专业分班，称为线性代数普通班。

二、突出代数素质培养和实践应用能力提升，深化教育教学研究与改革线性代数教学团队以课程体系优化和教学内容改革为切入点，以教学方法多样化和教学手段现代化为突破口，积极开展教学改革课题研究，探索教育教学规律，不断深化教学改革。

以“素质教育和创新教育”为核心，以培养适应部队信息化建设的懂技术、会指挥的新型复合型军事人才为目标，积极探索和深化线性代数课程的教学改革，并以教学改革为牵引，积极进行教学研究工作。

学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。

线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。

很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。

造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。

目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。

本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。

1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。

学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。

《线性代数》课程教学创新成果报告【摘要】线性代数是大学理工类本科生的一门必修课程。

为了让学生更好的学好这门课，实现教书育人的最高目标，在教学中努力尝试“以学生为中心”的教学理念，在教学目标中增加课程思政目标，既关注学生的知识生成，更关注学生数学能力，综合能力及道德品质的培养和提高。

针对课程教学过程的痛点，对这门课程的教学活动和教学内容进行了改革和创新，教学活动的创新主要表现在：教学资源的优化配置，探索更有效的教学方式方法；注重教学难点的突破，学习和答疑途径的多元化，教学内容的创新主要体现在：注重科学素养的培育，充分发掘课程思政元素，实现全方位育人等。

【关键词】线性代数；课程教学创新；诱导启发式。

线性代数是高等学校理工科各专业本科生的一门重要的基础理论课，是理工类学生考研的必考科目，它是以矩阵、行列式等为工具，研究线性问题的求解理论和方法的一门学科.由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下也可转化为线性问题,因此本课程所介绍的基本理论和方法广泛地应用于自然科学、社会科学等各领域，尤其是计算机得到普及的今天，本课程的作用与地位更显重要。

该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，空间直观和想象能力具有重要的作用。

在培养学生的科学素养，人文精神和创新能力等方面也起着十分重要的作用。

因此线性代数的教学过程的改革创新，学生的学习过程的优化及学习效果的提高都显得非常重要。

一课程教学的“痛点”1.学生的痛点经调查显示，学生普遍认为，线性代数不同于高等数学，定义定理都是比较抽象，无法与实践和以前的认知联系起来，很多学生普遍反映线性代数学习感到吃力。

复习基本靠死记硬背，大部分学生对考试成绩不满意，更别说数学素养的提升。

1.老师的痛点从老师的角度看，线性代数课程课时少，内容多，想把线性代数的内容在有限的课时内讲懂讲透，是一件富有挑战的事情。

传统的教学方式基本以讲授为主，很难调动学生学习的积极性，强硬的灌输抽象的概念及定理等，使学生感觉课堂是枯燥无味的，这样的状态下很难使学生在线性代数的学习过程中，进一步提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力等数学素养。

［摘要］高校立身之本在于立德树人，大学数学教学不仅仅是让学生获得专业知识和解决数学问题的能力，更应该让学生的价值观得到正确的引领。

深入挖掘线性代数课程本身的思政元素，包括挖掘线性代数课程里的中国智慧、中国贡献，借助特殊数字培养家国情怀，从代数学大师的故事中提炼价值观教育元素，揭示线性代数课程里蕴含的数学美等。

通过提升教师的思政育人能力，综合运用多种线上教育资源和现代教育工具，改革课程的考核方式，实现线性代数的思政育人功能。

［关键词］线性代数；课程思政；价值观；中国智慧［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2022）03-0043-03线性代数课程思政的教学实现①张立华*，王岗伟，王钥（河北经贸大学数学与统计学学院，河北石家庄050061）一、引言新时代中国高等教育必须把立德树人作为教育的根本任务，培养什么人、怎样培养人、为谁培养人，是高校在人才培养过程中必须回答好的根本问题。

习近平总书记继2016年提出“各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”之后，2019年3月再次指出，“要挖掘其他课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，实现全员全程全方位育人”。

2020年4月，《教育部等八部门关于加快构建高校思想政治工作体系的意见》明确要求健全立德树人的教育体制机制，加快构建高校思想政治工作体系，详细规划了理论武装体系、学科教学体系、日常教育体系、管理服务体系、安全稳定体系、队伍建设体系、评估督导体系七个子体系。

由此，课程思政作为一种教育理念和新的课程观，已经在教育界形成共识，课程思政的教学实现与探索引起了广泛关注。

大学数学类课程授课对象人数多，涉及面广，而且课程本身非常重要，学生的重视程度高。

充分挖掘大学数学类课程中的思政教育元素，对形成三全育人的教学体系意义重大。

本文以线性代数课程为例，从挖掘课程本身的思政元素和教育措施的改革与创新两个方面讨论线性代数课程思政的教学实现。

《×××××》教学大纲（如是双语或全英课程应提供中文和英文教学大纲）总学时：理论课学时：实验课学时：学分：一、课程的性质二、课程的目的与教学基本要求三、课程适用专业四、课程的教学内容、要求与学时分配（一）1.（1）a.1．理论教学部分按各章节列出主要内容，注明课程教学的难点和重点，对学生掌握知识的要求，以及学时的分配。

2．实验教学部分列出实验名称（实验项目）、学时分配，明确具体内容，对学生的要求等。

五、教材和主要参考资料六、课程考核方式备注：（如果有要求先修课程请在此处列出）《×××××》Course DescriptionTotal Hours：Lecture Hours：Experimental Hours：1.Characteristic of the Course“必修课”翻译为：Compulsory Course“选修课”翻译为：Elective Course2.Aim of the Course and the Basic Requirements3.Applicable Speciality4.Course content, Requirements and Hours Allocation（1）a.(1) Lecture按各章节列出主要内容，注明课程教学的难点和重点，对学生掌握知识的要求，以及学时的分配。

(2) Experiment列出实验名称（实验项目）、学时分配，明确具体内容，对学生的要求等。

5.Textbooks and Main Reference6.Evaluation MethodNotes：（如果有要求先修课程请在此处列出）示例：《线性代数》教学大纲总学时：32 学分：2一、课程的性质公共基础必修课程。

二、课程的目的与教学基本要求线性代数是高等学校本科生重要的公共基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得比较全面的线性代数的基本知识和必要的基本运算技能；同时培养学生在运用数学理论分析问题和解决问题的能力，增加数学软件的学习，为学习有关专业基础知识和专业课程及扩大数学知识方面提供必要的数学基础。

线性代数培训之收获——对“克莱姆法则”的一个新教案有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。

李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。

李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。

对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。

这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。

§7克莱姆法则一、教学内容(1) 克莱姆法则的证明(2) 克莱姆法则的应用二、教学要求（1）理解克莱姆法则的证明（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程一、（定理1）克莱姆法则若n ×n 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, ⑴ 的系数行列式D=,0212222111211≠nn n n nna a a a a a a a a则方程组⑴有唯一解：x 1=,1D D x 2=,2D D ,x n =DD n . ⑵其中D i (i=1,2, ,n)是把系数行列式D 中的第i 列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D i =nn i n n i n n ni i ni i a a b a a a a b a a a a b a a1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i 个方程，如果左端也等于b i ，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i 个方程的左端，并把D i 按照第i 列展开，第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in D D n =D 1(a 1i D 1+a 2i D 2+ +a in D n ) =D1[ a 1i (b 1A 11+b 2A 21+ +b i A i1+ +b n A n1)+ a i2 (b 1A 12+b 2A 22+ +b i A i2+ +b n A n2)++a in (b 1A 1n +b 2A 2n + +b i A in + +b n A nn )] =D1[b 1(a i1A 11+a i2A 12+ +a in A 1n )+ b 2(a i1A 21+a i2A 22+ +a in A 2n )++b i (a i1A i1+a i2A i2+ +a in A in )++b n (a i1A n1+a i2A n2+ +a in A nn )] 根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有b i 的系数是D ，而其他b k (k ≠i)的系数都是零，从而第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in DD n =D 1（b i D ）=b i =第i 个方程的右端, i=1,2, ,n.故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：x 1=c 1 , x 2=c 2 , , x n =c n ⑶只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111,, ⑷ 现在构造一个新的行列式c 1 D=nn n n nna a c a a a c a a a c a211222*********（即在D 的第1列乘以c 1）给此行列式的第2，3， ，n 列分别乘以c 2，c 3, ,，c n 后都加到第1列，得c 1D= nn n n nn n n nn n nn n a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a2221122222221211121212111+++++++++根据⑷式，得c 1D=nnn n nna ab a a b a a b222221121=D 1, 因为 D ≠0,所以 c 1=D D 1. 同理可证，c 2=D D 2, , c n =D D n . 唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。

课程简介课程基本信息：1．课程中文名称：线性代数2．课程英文名称：Linear Algebra3．课程编号：025810024．适用专业：金融学专业、财务管理专业、风险管理与保险学专业、国际经济与贸易专业、市场营销专业等经济类各专业5．适用层次：专科起点升本科6．课程类别：专业必修课7．课程学时：授课课时45课时，自学学时135学时课程性质：《线性代数（经管类）》是经济管理类各专业、本科段必修的专业基础课。

本课程是在实数域上的有限维空间nR里讨论线性理论；为解决实际问题提供基本的思想和算法；也为深入学习数学和经济应用数学打下必要的基础。

内容说明：学习线性代数要先学会算行列式（第一章）。

一般线性代数包括：⑴线性空间；⑵线性变换；⑶矩阵论；⑷代数型。

根据经管类需要⑴中只学nR空间（第三章）；⑵只学相似变换（第五章），合同变换（第六章）；⑶学矩阵论；⑷只学二次型。

解线性方程组（第二章）是解决实际问题（例如投入产出、线性规划）的基本方法。

参考教材《线性代数》教材书名：线性代数著作责任者：杨荫华编著责任编辑：刘艳云梁鸿飞标准书号：ISBN 7-301-06954-5/F﹒0781出版发行：北京大学出版社内容提要：本书是高等成人教育、继续教育经济与管理类本科“线性代数”课程教材。

本书按照教育部颁布的《线性代数自学考试大纲》，并结合作者多年从事教学实践的经验编写而成。

全书共分七章。

内容包括行列式、线性方程组、n维向量空间、矩阵、矩阵的相似、二次型，以及线性空间与线性交换等。

每节后配有适量练习题，书末有习题参考答案与提示，供教师和学生参考。

本书叙述深入浅出、通俗易懂、论证严谨、便于自学，也可以作为参加经济与管理类自学考试本科段考生的自学教材或参考书。

书名：线性代数（经管类）作者：刘吉佑、徐诚浩编著出版发行：武汉大学出版社内容提要：本书是根据《线性代数（经管类）自学考试大纲》的精神和要求编写的，章节安排、自学要求、重点和难点都符合大纲要求。

线性代数 专业： 班级： 学号： 姓名： 一、 分析课题 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。课题所涉及的学科范围（从维普《中文科技期刊数据库》分类检索中查找分类号）：[ O ]数理科学和化学→[ OP ]数学。时间范围：（根据不同课题检索的需要来定）如：2000～2011年 二、 选择检索工具 1、《馆藏中文图书目录》、《超星全文图书》等 2、维普资讯（VIP）资源整合（http://www.cqvip.com） 3、中国知网（CNKI）资源整合（ http://www.cnki.com/） 4、万方数据资源整合 （http://www.wanfangdata.com.cn/） 5、福州大学城文献资源共享服务平台（http://area.duxiu.com/area/fzdxc/） 6、搜索引擎的使用(谷歌,百度等)( http://scholar.google.com/ （http://www.baidu.com） 7、开放存取资源：中国科技论文在线（）、 中国学术会议在线（http://www.meeting.edu.cn） 国家科技图书文献中心、（）等

*8、ScienceDirect期刊全文数据库 、SpringerLink期刊全文数据库等外文数据库

三、确定主题词（关键词） 显性主题概念：线性代数 教学方法 应用 隐性主题概念：矩阵 数学建模。 四、编写检索式 例如： 五、检索结果：( 筛选出20-30条相关信息记录，举例如下)

1. 馆藏中文图书目录（1-2条记录） 1．题名: 线性代数 作者: 卢刚 冯翠莲 出版项: 北京：北京大学出版社，2006 页码: 228页 价格: CNY24.00 分类: O151.2 2．题名: 经济应用数学基础．二：线性代数 作者: 胡显佑 出版项: 北京：高等教育出版社，2008 页码: 168页 价格: CNY12.10 分类: F224.0

摘要 (1)ABSTRACT (2)前言 (3)第1章行列式在中学数学中的应用 (4)1.1用行列式证明等式 (4)1.2用行列式分解因式 (5)1.3行列式在解析几何中的应用 (6)第2章线性方程组在中学数学中的应用 (7)第3章二次型理论在中学数学中的应用 (8)第4章矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 (10)4.1中学数学引入矩阵的意义 (10)4.2中学数学中矩阵与变换 (11)4.3线性变换面积定理 (11)4.4利用矩阵的秩判断两直线位置关系 (12)4.5中学数学中矩阵变换的常见类型 (12)第5章用向量法解决初等几何问题 (13)结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．关键词：行列式齐次线性方程组二次型矩阵向量AbstractLinear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.Keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector前言线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明. 例1 已知0a b c ，求证3333a b c abc .证明：令3333D a b c abc =++-，则0000a b c a b c a b c a b c Dc a b c a b c a b b ca bcab ca，即33330a b c abc例2 已知1ax by ，1bx cy ，1cx ay ，求证：222ab bc ca a b c . 证明：令222()()()()D ab bc ca a b c a b c b c b c a c ，则有110110011a c ab ax by a b Db ac a cx ay c a cbbcbx cy bc.例3 在ABC ∆中，求证222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C .证明 由于2221cos cos cos cos cos 2cos cos cos 1cos 1cos cos cos 1C B A B C A B C CA B Acos cos cos cos 0cos cos 11cos cos 1cos 01cos 0cos cos cos 10cos 1a b C B C BC Ba Cbc A A A aaa Bb Bc A A所以，在ABC ∆中，222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C 成立.例 4求证：222cos cos cos ()2cos cos cos()1.证明：因为2221cos cos cos 1cos()12cos cos cos()cos cos cos ()coscos()1D又221000sin sin sin 00sin sin sin D ，故222cos cos cos ()2cos cos cos()11.2 用行列式分解因式由行列式的定义，1112112212212122a a a a a a a a .由此启发，我们可以把一个代数式F 看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即F MN PQ (,,,M N P Q 均为代数式)，于是M P FQN.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解.例1分解因式43262420x x x x . 解：4322262420(61)4(65)x x x x x x x x22221165(4)461461x x x xx x x22(4)(65)(2)(1)(2)(5)x x x x x x x .例2 将3386a b ab 分解因式.解：332111862(2)222ab a b aba b a b a b baba22(2)(224)a b a b ab a b .例3 分解因式222222ab bc ca ac ba cb .解：222222222222()()()ab bc ca ac ba cb a b c b c a c a b222()()()111a b c a b c a b b c c a .利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.1.3 行列式在解析几何中的应用定理1[]2（1）以平面内三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 为顶点的ABC 的面积11223311121x y Sx y x y 的绝对值. （2）通过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线方程为11221101xy x y x y .例 求过点2,3和点1,4的直线的方程.解 由12310141xy ，得直线的方程为50x y .（3）平面内三条直线111122223333:0,:0,:0L a x b y c L a x b y c L a x b y c .相较于一点或互相平行的充要条件是：1112223330a b c a b c a b c .推论[]2平面上三点112233(,),(,),(,)P x y Q x y R x y 在一条直线上的充要条件是1122331101x y x y x y .定理2[]2通过平面上三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 的圆的方程为2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y .例1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.证明：设三个圆的方程分别为220(1,2,3)i i ix y D x E y F i .两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为121212131313323232()()()0,()()()0,()()()D D xE E yF F D D x E E y F F D D x E E y F F 三条直线方程的系数行列式为1212121212121313132323233232323232320D D E E F F D D E E F F DD DE EF F D D E E F F D D E E F F D D E E F F故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.第2章 线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就是一个线性方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人? 解 设大和尚的数目是x ，小和尚的数目是y ，则有100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解之得 2575x y =⎧⎨=⎩ 其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理[]3含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式等零. 例1已知函数2()f x x ax b ,证明(1)f 、(2)f 、(3)f 中至少有一个不小于12. 解 把x =1,2,3代入函数表达式,列方程组(1(1))02(4(2))03(9(3))0a b f a b f a b f ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩上述关于a 、b 、1的齐次线性方程组有非零解,故111(1)214(2)0319(3)f f f ,展开整理得(1)2(2)(3)2f f f ，假设结论不成立,即1(1)2f <, 1(2)2f <, 1(3)2f <,易推出2(1)2(2)(3)2f f f -<-+<,从而产生矛盾,故命题成立.例2 已知x a y z，y b z x，z c x y，求证：12ab bc ca abc .证明：由已知得关于,,x y z 得方程组000x ay az bx y bz cx cy z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩因为,,x y z 不可能为零，所以由定理知1101a a bb cc----=-- 化简得10abc abc ac bc ab 即12ab bc ca abc .由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第3章 二次型理论在中学数学中的应用考虑一个 n 元二次型：222'1211112121122222(,,,)2...22n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x X AX =++++++++=，其中'12,,1,,,(,,...,)ij n a R i j n X x x x ∈==,111211222212nn nnnn A a a a a a aa aa ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义[]4一个二次型12(,,,)n f x x x 经过非线型替换变成的平方和222121122(,,,)n n n f x x x d x d x L d x =+++，,1,,,(1)i d R i n ∈=称为12(,,,)n f x x x 的标准型.定理1[]4 实数域上任意一个二次型12(,,,)n f x x x 都可以经过非退化的线性替换变成平方和（1）的形式.定理2[]4 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1.例 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解，若能，分解之.22121212121)(,)2423f x x x x x x x x 2212121222)(,)3241f x x x x x x x解 1) 令2212312121323(,,)2423g x x x x x x x x x x x ,则1212(,)(,,1)f x x g x x ，下面考虑123(,,)g x x x 的秩和符号差，对123(,,)g x x x 作非线性替换:112322333214y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩， 即 11232233312214x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩有2221231231(,,)28g x x x y y y ，可见123(,,)g x x x 的秩是3，有定理2，知123(,,)g x x x 不能分解，从而12(,)f x x 也不能分解. 解 2) 令2221231212233(,,)324g x x x x x x x x x x ，则1212(,)(,,1)f x x g x x 下面考虑123(,,)g x x x 的秩和符号差.对123(,,)g x x x 作非线性替换112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩， 即 11232233311221()2x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩有2212312(,,)g x x x y y ，从而22121212(,)(,,1)f x xg x x y y ，可见12(,)f x x 的秩为2，符号差为0，有定理2，知12(,)f x x 可以分解，且2212121212121212(,)(,,1)()()(31)(1)f x x g x x y y y y y y x x x x定理2[]4对于n 元实二次型'1212(,,...,),,,...,n nf x x x X AX 为A 的特征值,则对于任意n X R ∈,有{}{}''12min (,,...,)max i n i X X f x x x X X λλ≤≤.例3 设,x y 是实数,且满足223x xy y .则22x xy y 的最大值与最小值是____.解 令22112(,)(,)112x f x y x xy y x y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则(,)f x y 的矩阵112112A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.令11312()()012212I A λλλλ---==--=-,因此,特征值1213,22. 由定理得222213()(,)()22x y f x y x y +≤≤+,注意到(,)3f x y ,解得2226x y ≤+≤.又2222222()(,)2()3x xy y x y f x y x y ,从而2219x xy y ≤-+≤,所以22x xy y 的最大值为9,最小值为1.由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型12(,,...,)n f x x x 在条件21nii xa ==∑下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。