2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点
重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面
L
A ·
α C ·
B
·
A
· α P
· α
L
β
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
共面直线
=>a ∥c
2
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
针对性练习：
1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A. α内所有的直线都与a异面；
B. α内不存在与a平行的直线；
C. α内所有的直线都与a相交；
D.直线a与平面α有公共点.
2.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0
3.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD
=====，则AC与BD所成角为
A、0
90
60 D、0
30 B、0
45 C、0
4. 给出下列命题：
（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3 5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8
6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
7.如图长方体中，AB=AD=2
3，CC 1=2，则二面角
C 1—B
D —C 的大小为（ ）
（A ）300
（B ）450
（C ）600
（D ）900
8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）
A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α
B 、若b ⊂α, a//b 则 a//α
C 、若a//α,α∩β=b 则a//b
D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a//α,a//β
C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：
①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。 其中正确命题的个数是（ ）Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为.
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
