质点沿可自由移动的光滑凹槽的运动分析
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第十章 第二节 动量定理
例(P217例10-2)质量为m1的矩形板可在垂直于板面的光滑平面上运动， 板上有一半径为R的圆形凹槽，一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽 匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽的最右端(即q=0)。试求 甲虫运动到图示位置时，板的速度、加速度及地面对板的约束反力。 解 (1)质点系：板和甲虫 vr (2)受力分析 (质点系一般位置)
二、质点系的动量定理 第i质点 dpi /dt =Fi=Fie+Fii (Fie——质点系外力；Fii ——质点系内力) 质点系 Sdpi /dt = SFie +SFii d(Spi) /dt = SFie dp /dt = SFie 质点系动量定理的微分形式： 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的 矢量和。 改写为 dp = S Fiedt 积分 p2 - p1 = I e 质点系动量定理的积分形式： 在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作用于 质点系上外力冲量的矢量和。
投影形式
微分形式： dpx /dt =SFixe(三式) 积分形式： p2x- p1x =SIix e
三、动量守恒(质点系动量守恒定律) 如 SFie=0 则 p = p1= p2 =常矢量 如 SFixe=0 则 px = p1x= p2x =常量 注意：1．内力不能改变质点系的动量。 2．内力能改变质点系中各质点的运动(动量)
质点系动量守恒 px=常量 (3)运动分析 甲虫 v1=v1+vr 板 v1 系统动量 p=m1v1+m2v2 初始 px0=0 (4)质点系动量守恒
SFixe＝0
பைடு நூலகம்
q
v1
G1
G2
FN m 2 v r sinq v1 px=m1v1 +m2(v1▬vrsinq ) m1 m 2 2 m 2 vr cos q m2vrq cosq (q vr / R) a1 v1 ( m1 m2 ) R m1 m2 (5)动量定理求FN
《曲线运动》导学案
第1节 第一章 运动学第2节 质点运动的基本概念一.质点运动的基本概念1．位置、位移和路程：位置指运动质点在某一时刻的处所，在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标（x,y,z ）来表示。
在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位置矢量（简称位矢）的概念，如图所示，在直角坐标系中，位矢r 定义为自坐标原点到质点位置P(x,y,z)所引的有向线段，故有222z y x r ++=,r 的方向为自原点O 点指向质点P 。
位移指质点在运动过程中，某一段时间t ∆内的位置变化，即位矢的增量t t t r r s _)(∆+=，它的方向为自始位置指向末位置。
在直角坐标系中，在计算位移时，通常先求得x 轴、y 轴、z 轴三个方向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。
路程指质点在时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。
2．平均速度和平均速率：平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比：t s v ∆=平，平均速度是矢量，方向与位移s 的方向相同。
平均速率是质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值，是标量。
3．瞬时速度和瞬时速率：瞬时速度是质点在某一时刻或经过某一位置是的速度，它定义为在时的平均速度的极限，简称为速度，即ts v t ∆=→∆0lim 。
瞬时速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向。
瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。
4．加速度：加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即t v a ∆∆=，这样求得的加速度实际上是物体运动的平均加速度，瞬时加速度应为tv a t ∆∆=→∆0lim。
加速度是矢量。
5．匀变速直线运动：质点运动轨迹是一条直线的运动称为直线运动，而加速度又恒定不变的直线运动称为匀变速直线运动，若a 的方向与v 的方向一致称为加速运动，否则称为减速运动。
匀变速直线的运动规律为： 20021at t v s s ++= )(20202s s a v v t -=-二、解题指导：例1：如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C两段绳子的夹角为ɑ时，A 的运动速度。
力学中的质点运动问题
力学中的质点运动问题力学是自然科学中重要的一部分学科，研究物体的运动规律、力学性质、能量转换过程等问题。
其中，质点运动问题是力学中的基础概念，是理解力学的核心内容。
一、什么是质点运动问题质点是物理学中一个基本的模型，它是一个没有大小和形状的物体，仅有质量和位置两个物理量，可以看作是理想化的物体。
质点运动问题指的是在不考虑物体大小和形状的情况下，研究质点在运动过程中所受的力和所产生的位移、速度和加速度等物理量的变化规律问题。
二、质点的运动状态质点有三种不同的运动状态：匀速直线运动、匀变速直线运动和曲线运动。
其中，匀速直线运动是指质点在直线上做匀速运动，即它的速度大小和方向都不变，匀变速直线运动是指质点在直线上做加速或减速运动，速度大小和方向不同，曲线运动是指质点在曲线路径上运动。
三、牛顿定律牛顿定律是力学的基本定律之一，它表明物体的运动状态不受力的作用而不发生变化，或者说物体的加速度等于所受力的大小与与其质量的比值。
牛顿第二定律的公式表达为F=ma，其中F是力的大小，m是物体的质量，a是物体所受的加速度。
四、力的种类在质点运动问题中，常见的力有四种种类：摩擦力、重力、弹力和万有引力。
摩擦力是质点在表面上滑动或滚动时产生的阻力，会减缓质点的速度。
重力是地球对质点的吸引力，是质点在垂直方向上的重力形成的。
弹力是要恢复形变物体原来形态的力，例如抛出手中的弹球后，它落回手中时产生的弹性力。
万有引力是质点之间的相互引力，例如行星之间的引力。
五、运动学和动力学质点的运动问题可以分为运动学和动力学两个层面。
运动学关注的是物体在运动过程中的时间、位移、速度和加速度等量的变化规律，通过这些量的分析可以判断物体运动的轨迹和速度等参数。
动力学则是关注物体在运动过程中受到的力对其运动状态的影响，并通过牛顿定律来描述这种影响。
六、矢量和标量在质点运动问题中，所有物理量可以分为矢量和标量两种类型。
标量是只有大小没有方向的量，例如质点的质量和速度大小等。
第一章运动学
第一章 运动学第1节 质点运动的基本概念一.质点运动的基本概念1．位置、位移和路程：位置指运动质点在某一时刻的处所，在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标（x,y,z ）来表示。
在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位置矢量（简称位矢）的概念，如图所示，在直角坐标系中，位矢r 定义为自坐标原点到质点位置P(x,y,z)所引的有向线段，故有222z y x r ++=,r 的方向为自原点O 点指向质点P 。
位移指质点在运动过程中，某一段时间t ∆内的位置变化，即位矢的增量t t t r r s _)(∆+=，它的方向为自始位置指向末位置。
在直角坐标系中，在计算位移时，通常先求得x 轴、y 轴、z 轴三个方向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。
路程指质点在时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。
2．平均速度和平均速率：平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比：t s v ∆=平，平均速度是矢量，方向与位移s 的方向相同。
平均速率是质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值，是标量。
3．瞬时速度和瞬时速率：瞬时速度是质点在某一时刻或经过某一位置是的速度，它定义为在时的平均速度的极限，简称为速度，即ts v t ∆=→∆0lim 。
瞬时速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向。
瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。
4．加速度：加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即t v a ∆∆=，这样求得的加速度实际上是物体运动的平均加速度，瞬时加速度应为tv a t ∆∆=→∆0lim。
加速度是矢量。
5．匀变速直线运动：质点运动轨迹是一条直线的运动称为直线运动，而加速度又恒定不变的直线运动称为匀变速直线运动，若a 的方向与v 的方向一致称为加速运动，否则称为减速运动。
匀变速直线的运动规律为： 20021at t v s s ++= )(20202s s a v v t -=-二、解题指导：例1：如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C两段绳子的夹角为ɑ时，A 的运动速度。
半圆形凹槽 减小的重力势能 动能 系统
半圆形凹槽减小的重力势能动能系统
半圆形凹槽是一种物理学理论案例，可以用来探究质点在沿着曲线运动时重力势能和动能的变化情况。
假设一个质点从某个高度开始沿着一个高度为0的半圆形凹槽运动，我们可以通过以下步骤来分析质点运动时重力势能和动能的变化情况。
首先，我们需要明确，在质点从高处开始下滑到底部时，它会减小其重力势能。
这是因为，重力势能的大小取决于质点的高度。
当质点从一个高度高的地方下滑到更低的位置时，它的重力势能也相应的减小。
当质点滑到半圆形凹槽的底部时，它的速度达到了最大值，因此它的动能也达到了最大值。
然而，此时质点的高度和重力势能都为零。
在接下来的滑行过程中，质点始终维持着相同的速度，而且其高度和重力势能也保持不变。
因此，滑行过程中动能的大小始终维持在一个稳定的值。
当质点滑到半圆形凹槽的末端时，它会逐渐升高，并且减缓速度。
在此过程中，质点的速度减小，导致其动能也逐渐减小。
最终，当质点回到其最初的高度时，它已经完全停下，并且其动能为零。
同时，质点的高度和重力势能也与最初相同。
这就是一个质点在沿着半圆形凹槽运动的过程中重力势能和动能的变化。
在这个系统中，重力势能和动能随着质点的高度和速度的变化而变化。
通过分析质点在不同位置的重力势能和动能的大小，我们可以更好地了解它在沿着曲线运动时的物理学表现。
《质点的运动》PPT课件_OK
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2.切向加速度与法向加速度的意义
a
dv dt
dveτ dt
dv dt eτ
v deτ dt
切向加速度aτ
法向加速度an
11
an的方向 deτ
Δeτ
意义：
aτ :速率变化引起的加速度.
eτ
eτ
Δθ Δeτ
an速度方向变化引起的加速度.
大小：
a
dv dt
指向法线.
an
v deτ dt
v de dt
匀变速圆周： ω=ω0+αt
0
1
2
t2
15
3.角量与线量的关系
（1）v与ω 见图： 当 t 0 ,B A ,
AB s R
B ω0Δ+sΔω
Δθ θ
R
A ω0
x
得： v = Rω
(2) a与α、ω.
an
v2 R
R 2
设 A→B 有：v→v +Δv , ω→ω+Δω
由 v = Rω 得：Δv = RΔω
平均速率 V s t
V lim r d r dx i dy j dz k t dt dt dt dt
Vx i Vy j Vz k
V Vx2 Vy2 Vz2
方向： 割线变切线
6
四.加速度
瞬时加速度
a lim v dv d2r
t Δt→0 dt dt 2
axi
ay j az k
u’ y’
建立坐标系：
600
由相对性，得：
u’
vx
vRx
u
' x
u u' cos 600 0
vy
科里奥利力简单推导
3
讨论
科氏力：
1、科里奥利力的特征
fc
2m
1）与相对速度成正比
只有在转动参考系中运动时才出现
2）与转动角速度一次方成正比
当角速度较小时，科氏力比惯性离心力更重要
3）科氏力方向垂直相对速度
该力不会改变相对速度的大小
4）科氏力在地球上的表现
4
fc
fc
fc
北半球的河流 水流的右侧被冲刷较重
落体向东偏斜
匀速转动参考系 惯性离心力 科里奥利力
1.离心力
在匀速转动的参考系上考察一个静止物体
转盘相对惯性系的加速度是
a0
2rrˆ
rˆ
m
m 2r
m 2r
则物体的惯性离心力为
fi
ma0
m2rrˆ
1
2 . 科里奥利力 Coriolis force 相对转动参考系运动的物体， 除受到离心力外， 还受到一个力 ，称科里奥利力。 表达式为：
巴黎， 49，T 31小时52分
北京， 40，T 37小时15分
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
实物8演示 科氏力
附：科里奥利力简单推导 我们以特例推导，然后给出一般表达式。
如图，质点m在转动参 考系（设为S'系）中沿 一光滑凹槽运动，
速度为 v
光滑凹槽
S′
O· ●
r
m
ω=const. S
fc
12
一般表示式：
F
2m
m
2
r
ma
惯性力：
Fi
2m
m2r
则有：
F
Fi
ma
在非惯性系中，只要在受力分析时加上惯 性力后，就可形式上使用牛顿定律。
讨论
科氏力：
1、科里奥利力的特征
fc
2m
1）与相对速度成正比
只有在转动参考系中运动时才出现
2）与转动角速度一次方成正比
当角速度较小时，科氏力比惯性离心力更重要
3）科氏力方向垂直相对速度
该力不会改变相对速度的大小
4）科氏力在地球上的表现
4
fc
fc
fc
北半球的河流 水流的右侧被冲刷较重
落体向东偏斜
匀速转动参考系 惯性离心力 科里奥利力
1.离心力
在匀速转动的参考系上考察一个静止物体
转盘相对惯性系的加速度是
a0
2rrˆ
rˆ
m
m 2r
m 2r
则物体的惯性离心力为
fi
ma0
m2rrˆ
1
2 . 科里奥利力 Coriolis force 相对转动参考系运动的物体， 除受到离心力外， 还受到一个力 ，称科里奥利力。 表达式为：
巴黎， 49，T 31小时52分
北京， 40，T 37小时15分
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
实物8演示 科氏力
附：科里奥利力简单推导 我们以特例推导，然后给出一般表达式。
如图，质点m在转动参 考系（设为S'系）中沿 一光滑凹槽运动，
速度为 v
光滑凹槽
S′
O· ●
r
m
ω=const. S
fc
12
一般表示式：
F
2m
m
2
r
ma
惯性力：
Fi
2m
m2r
则有：
F
Fi
ma
在非惯性系中，只要在受力分析时加上惯 性力后，就可形式上使用牛顿定律。
力学中的质点运动
力学中的质点运动在我们的日常生活中，物体的运动无处不在。
从飞翔的鸟儿到奔驰的汽车，从抛出的篮球到宇宙中的行星，物体的运动形式多种多样。
而在力学的研究中，为了更方便、更简洁地描述和分析物体的运动，引入了一个重要的概念——质点。
质点，简单来说，就是一个具有质量但没有大小和形状的点。
当我们研究一个物体的运动时，如果其大小和形状对我们所关心的运动问题影响极小，可以忽略不计，那么就可以把这个物体看成一个质点。
比如说，在研究地球绕太阳的公转时，由于地球到太阳的距离远远大于地球的半径，地球的大小和形状对公转的影响可以忽略，这时地球就可以被看作一个质点。
质点的运动可以用多种方式来描述，其中最常见的就是位置、速度和加速度。
位置，是描述质点在空间中所处位置的物理量。
我们通常用坐标来表示质点的位置，比如在直角坐标系中，一个质点的位置可以用(x, y, z)三个坐标来确定。
如果质点的位置随时间发生变化，那么我们就说质点在运动。
速度，是描述质点位置变化快慢的物理量。
它等于质点的位移与发生这段位移所用时间的比值。
速度是一个矢量，既有大小又有方向。
如果质点在一段时间内的速度保持不变，那么我们称这种运动为匀速直线运动；如果速度在不断变化，那么就是变速运动。
加速度，则是描述质点速度变化快慢的物理量。
加速度同样是矢量，它等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。
当加速度为零时，质点做匀速运动；当加速度不为零时，质点的速度会发生改变。
在实际的物理问题中，质点的运动可以分为直线运动和曲线运动两大类。
直线运动相对较为简单，比如一个在水平地面上自由滑行的木块，如果不受摩擦力的作用，它将做匀速直线运动；如果受到一个恒定的外力，它将做匀加速直线运动。
在研究直线运动时，我们常常会用到速度时间图像和位移时间图像，通过这些图像可以直观地了解质点的运动情况。
曲线运动则要复杂一些，常见的曲线运动有平抛运动、圆周运动等。
平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
第二章 - 非惯性系2
r
2
v 2 m 2mv mr 2 r
v 2 ， 在非惯性系（圆盘）S′： 向心加速度 a r
非惯性系中牛二定律不适用
16
将惯性系（地面S）中的牛二定律式
2 v F m 2mv mr 2 r
转换到非惯性系（圆盘）S′中使用：
v F 2mv mr m r
m2 m1 m2 a m2 g m1 g m1a
a
m1 g m2 g m1a m2a m1ar m2ar m1 m2 ar ( g a) m1 m2
在非惯性系中，只要在受 2m1m2 FT ( g a ) 力分析时加上惯性力后， m1 m2 就可形式上使用牛顿定律。
注意：加速度是矢量，要有方向！ a = ax j + a yk
解法 二
物体受力：重力 W , 斜面对它的正压力 N N 惯性力 F惯 ma1 W 动力学方程为： W N F惯 ma F惯
以作加速平动的升降机为参考系，是非惯性系。
沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的受力分量式为：
速度 a0 相对地面向上运动时，求两物体相对
a
a
a0
为 a1、a2 ，且相对电梯的加速度为 a
m1 g T m1a1
m1 m 2
a1 a0 a
m2 g T m2a2
m1 m2 a ( g a0 ) m1 m2
0 y T aT 2
a2 a0 a
2m1m2 T ( g a0 ) m1 m2
a1
m1g
y
m2 g
9
0
若电梯以相同的加速度下降，结果又如何？
2
v 2 m 2mv mr 2 r
v 2 ， 在非惯性系（圆盘）S′： 向心加速度 a r
非惯性系中牛二定律不适用
16
将惯性系（地面S）中的牛二定律式
2 v F m 2mv mr 2 r
转换到非惯性系（圆盘）S′中使用：
v F 2mv mr m r
m2 m1 m2 a m2 g m1 g m1a
a
m1 g m2 g m1a m2a m1ar m2ar m1 m2 ar ( g a) m1 m2
在非惯性系中，只要在受 2m1m2 FT ( g a ) 力分析时加上惯性力后， m1 m2 就可形式上使用牛顿定律。
注意：加速度是矢量，要有方向！ a = ax j + a yk
解法 二
物体受力：重力 W , 斜面对它的正压力 N N 惯性力 F惯 ma1 W 动力学方程为： W N F惯 ma F惯
以作加速平动的升降机为参考系，是非惯性系。
沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的受力分量式为：
速度 a0 相对地面向上运动时，求两物体相对
a
a
a0
为 a1、a2 ，且相对电梯的加速度为 a
m1 g T m1a1
m1 m 2
a1 a0 a
m2 g T m2a2
m1 m2 a ( g a0 ) m1 m2
0 y T aT 2
a2 a0 a
2m1m2 T ( g a0 ) m1 m2
a1
m1g
y
m2 g
9
0
若电梯以相同的加速度下降，结果又如何？
上海交通大学版大学物理学习题答案之机械振动习题思考题
习题77-1.原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。
（g 取9.8）解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+,在本题中，kx mg =，所以9.8k =；ω===振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m 时为物体的平衡位置，以向下为正方向。
所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以：0.1cos x π=+）即)x =−7-2.有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m .0=t 时，小球正好经过rad 06.0−=θ处，并以角速度rad/s 2.0=•θ向平衡位置运动。
设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g 取9.8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。
解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率： 3.13/rad s ω===，频率：0.5Hz ν===，周期：22T s ===（2）根据初始条件：Aθϕ=0cos 象限）象限）4,3(02,1(0{sin 0<>−=ωθϕA ̇可解得：32.2088.0−==ϕ，A 所以得到振动方程：0.088cos 3.13 2.32t θ=−（）7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方cm 0.10处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。
解：（1）由题知2A=10cm，所以A=5cm；1961058.92=×=∆=−x g m K 又ω=14196==mk,即ππν721==m k （2）物体在初始位置下方cm 0.8处，对应着是x=3cm 的位置，所以：03cos 5x A ϕ==那么此时的04sin 5v A ϕω=−=±那么速度的大小为40.565vA ω==7-4.一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。