三元一次方程及其解法

三元一次方程组及其解法

1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程

2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组

3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元

4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析

一、三元一次方程组之特殊型

例1：解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212

分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。 解法1：代入法，消x.

把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤

④

2256125z y z y

解得2,2.y z =⎧⎨=⎩

把y=2代入③，得x=8.

∴8,

2,2.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.

针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z.

①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤

由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤

③38344y x y

x

解得 2.

y ⎨=⎩

把x=8,y=2代入①得z=2.

∴8,2,2.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.

例2：解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++③

②①17216

2152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3，

②-④得 y=4， ③-④得 z=5，

∴3,

4,5.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组20,19,

21.x y y z x z +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩

①

②③

解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④

④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，

∴11,10.y z ⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.

例3：解方程组⎩⎨

⎧=+-=②

①21

327

:2:1::z y x z y x

分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即

2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪

=⎨⎪-+=⎩①②③

，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求

解。

解法1：由①得y=2x ，z=7x ，并代入②，得x=1.

把x=1，代入y=2x ，得y=2； 把x=1，代入z=7x ，得 z=7.

∴1,2,7.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k ，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k ，并代入②，得k=1.

把k=1，代入x=k ，得x=1； 把k=1，代入y=2k ，得y=2； 把k=1，代入z=7k ，得 z=7.

∴1,2,7.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解.

典型例题举例：解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧===++③②

①4:5:2:3:111z y x y z y x

分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =2

3

y ； 由③得z=

4

5

y .从而利用代入法求解。 解法1：略.

分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z 的形式呢？通过观察发现②、③中都有y 项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y 比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。

解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k ，并代入①，得k=3. 把k=3，代入x=10k ，得x=30； 把k=3，代入y=15k ，得y=45； 把k=3，代入z=12k ，得 z=36.

∴30,45,36.x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型

例4：解方程组34,6,

2312.x y z x y z x y z -+=⎧⎪

++=⎨⎪+-=⎩

①②③

分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择