高中数学必修1基本初等函数常考题型：几类不同增长的函数模型

几类不同增长的函数模型

【知识梳理】

指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝x a(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝n x(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，y＝x a(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝n x(n>0)的增长x(a>1)的增长速度则会越来越慢．

速度，而y＝log

a

因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log

x1，n>0)．

a

【常考题型】

题型一、函数模型的增长差异

【例1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.

[答案] y2

【类题通法】

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝x a(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，

即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y ＝n

x (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【对点训练】

今有一组实验数据如下：

( ) A ．v ＝2log t B ．v ＝12

log t

C ．v ＝t 2

－12

D ．v ＝2t －2

解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.

题型二、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

【例2】 函数f(x)＝2x

和g(x)＝x 3

的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1

(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g(x)＝x 3

，C 2对应的函数为f(x)＝2x

.

(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1x 2.

从图象上可以看出，当x 1

当x>x 2时，f(x)>g(x)，∴f(2 011)>g(2 011)．

又g(2 011)>g(6)，∴f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)． 【类题通法】[

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．

【对点训练】

函数f(x)＝lg x ，g(x)＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

解：(1)C 1对应的函数为g(x)＝0.3x －1，C 2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当xf(x)；当x 1g(x)；当x>x 2时，g(x)>f(x)；当x ＝x 1

或x ＝x 2时，f(x)＝g(x).

题型三、函数模型的选取

【例3】 某汽车制造商在2013年初公告：公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

如果我们分别将模型：二次函数模型f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x

＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？

[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋

b ＋

c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，

9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，

则f(x)＝x 2

＋7x ，

故f(4)＝44，与计划误差为1.

(2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x

＋c(a≠0，b>0，b≠1)，

将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧

ab ＋c ＝8，ab 2

＋c ＝18，

ab 3＋c ＝30，

解得a ＝1253，b ＝6

5

，

c ＝－42，则g(x)＝1253·65x

⎛⎫ ⎪⎝⎭－42，故g(4)＝1253·4

65⎛⎫

⎪⎝⎭－42＝44.4，与计划误差为1.4.

由(1)(2)可得，f(x)＝x 2

＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． 【类题通法】

不同函数模型的选取标准

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．

【对点训练】

某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x

，

其中哪个模型符合该校的要求？

解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x

的图象(图略)．观察图象可

知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x

的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝5log x

的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝5log x 进行奖励才符合学校的要求．

【练习反馈】

1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2

x －1

D ．y ＝

1

1 000

ln x 解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C. 2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：