数值积分
第1章 理论依据
逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。
§1插值求积公式
为了用数值方法求
b a
I(f)=f(x)dx
⎰
，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点
上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I （Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。
§2Newton —Cotes 公式
§2.1Newton —Cotes 公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。
将区间[a,b]n 等分，
b a
h n -=
，n+1个节点为
x k =a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：
0()()()
n
n j n k k j k j
j k
x x p x f x x x ==≠-=-∑∏
用P n (x)代替f(x)构造求积公式：
0()()()n
n
b
b j
n n k a
a
k j k
j
j k
x x I p x dx f x dx
x
x ==≠-==-∑∏⎰⎰
记，(k=0,1,…,n)
作代换x=a+th 带入上式，变为：
()
00()n n n n k k
j j k
b a t j A dt b a C n k j
=≠∆
--==--∏⎰
其中： (k=0,1,…,n) （1-1）
这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。只要确定n 就能计算出系数。
于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：
()0
()n
n n k k
k I b a C y ==-∑ （1-2）
其中称为Newton —Cotes 系数。如表1所示。
§2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性
在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是
(1)0
()()()()()(1)!n n
n n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏
因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是
(1)0
()()()(1)!n n
b
k a
k f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰
（1-3）
讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b a
f x dx
⎰
其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, …,n ）。在（1-2）式中令
⇒
设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式
计算时引式的误差为
()
()()()
0000()[()(())()(...)
n
n
n n n n n k
k k k n n n k k e b a C
f x C f x b a C C εεε===--+=--++∑∑ 如果皆为正，并设，则
，故
有
界，即引起的误差受控制，不超过()b a ε-倍。保证了数值计算的稳定性。
但当n ≥8时，将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newton —Cotes 公式不能用。
当n 为偶数时，Newton —Cotes 积分公式具有n+1次代数精度。
§2.3经典Newton —Cotes 公式
当n=4,5点公式称为经典Newton —Cotes 公式
01234()()0
(7()32()12()32()7())90
()()(()1,()11
n
n
n n k k n k
k n k k k b a
C f x f x f x f x f x y f x I b a C y R f x p x
C ==-=
++++==-≡=⇒=∑∑
其中 (k=0,1,…,4)，它具有5次代数精度。
§3 Gauss-Legendre 求积公式
在积分区间[a,b]内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。
§3.1计算()b
a
f x dx
⎰n 阶求积公式
()
n
n i i i I A f x ==∑
若n I 有m 次代数精度，对k
x (k=0,1,…)应有
而110
n
b
m m i i i a
i A x x dx
++=≠∑⎰。
§3.2 Gauss 求积公式的基本原理
更一般形式：()()()b
a I f x f x dx
ρ=⎰ （2-1）
()x ρ为权函数，设()x ρ>0，且在[a,b]上可积，构造n 阶求积公式：
