7第七讲(等直圆杆变形和梁约束力)解析

材料力学1.材料力学研究内容⑴研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析；研究对象仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件。

⑵研究材料在外力和温度作用下所表现出的力学性能和失效行为；研究对象仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。

研究目的设计出杆件或零部件的合理形状和尺寸，以保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

2.杆件的受力与变形形式⑴拉伸或压缩 ⑵剪切 ⑶扭转 ⑷弯曲⑸组合受力和变形拉杆、压杆或柱、轴、梁受力特点3.材料的基本假定⑴各向同性假定 ⑵均匀连续性假定 ⑶平截面假定4.受力分析方法⑴截面法：应用假想截面将弹性体截开，分成两部分，考虑其中任意一部分平衡，从而确定截面上的内力的方法。

弹性体受力、变形的第二特征是变形协调。

P9［例题1-1］ 平衡方程+变形协调方程0x F =∑ 0y F =∑ 0cM =∑P31［例题2-6］5.应力应变相互关系E σε=、G τγ=6.轴力与轴力图正负号规定：拉正，压负。

⑴确定约束力。

⑵根据杆件上作用的荷载及约束力确定控制面，也就是轴力图的分段点。

⑶应用截面法，对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力数值。

⑷建立N x F -坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。

P21［例题2-1］7.变形计算变形N F ll EA∆=±应变N F l l EA Eσε∆===横向变形y x ευε=- υ泊松比 P25［例题2-2］8.拉伸与压缩杆件的强度设计⑴强度校核[]max σσ≤⑵尺寸设计[][][]max N N F FA A σσσσ≤⇒≤⇒≥ ⑶确定杆件或结构所能承受的许用荷载[][][][]max NN P F F A F Aσσσσ≤⇒≤⇒≤⇒ P28［例题2-4/5］9.拉伸与压缩杆件斜截面上的应力2cos =cos N P x F F A A θθθθσσθ==()sin 1=sin 22Q P x F F A A θθθθτσθ== 10.连接件强度的强度计算铆接件的破坏形式：剪切破坏、挤压破坏、连接板拉断以及铆钉后面连接板的剪切破坏。

第七章 弯曲内力一般说来，当杆件承受垂直于其轴线的外力，或矢量垂直于杆轴的外力偶时（图7-1a ），杆的轴线将由直线变为曲线。

以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。

凡是以弯曲变形为主要变形的杆件，称为梁。

图7-1 梁的计算简图梁是机械与工程结构中最常见的构件。

在分析计算时，通常用梁的轴线代表梁，例如图7-1a 所示梁的计算简图即如图7-1b 所示。

本章研究梁的内力，并为简单起见，仅研究所有外力均作用在同一平面内的梁，实际上，这也是最基本与最常见的情况。

§7.1 梁的约束与类型一、支座形式与支座约束力作用在梁上的外力，包括载荷与支座对梁的约束力。

最常见的支座及相应支座约束力如下。

（1） 活动铰支座 如图7-2a 所示，活动铰支座仅限制梁支承处垂直于支承平面的线位移，与此相应，仅存在垂直于支承平面的反作用力R F 。

在该图中，同时还绘出了用铰杆表示的活动铰支座的简图。

（2）固定铰支座 如图7-2b 所示，固定铰支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，因此，相应支座约束力可用两个力表示，例如沿梁轴方向的支座约束力x F R 与垂直于梁轴的支座约束力y F R 。

（3）固定端 如图7-2c 所示，固定端限制梁端截面的线位移与角位移，因此，相应支座约束力可用三个分量表示：沿梁轴方向的支座约束力x F R 、垂直于梁轴方向的支座约束力y F R 以及位于梁轴平面内的支座约束力偶矩R M 。

图7-2 支座形式及其约束力二、梁的类型本章所讨论的梁外力均作用在同一平面内。

平面一般力系的有效平衡方程仅三个。

因此，如果作用在梁上的支座约束力（包括支座约束力偶矩）也正好是三个，则恰可由平衡方程确定。

利用平衡方程即可确定全部支座约束力的梁，称为静定梁。

最常见的静定梁有以下三种。

（1）简支梁 一端固定铰支、另一端为活动铰支的梁（图7-3a ）。

（2）悬臂梁 一端固定、另一端自由的梁（图7-3b ）。

（3）外伸梁 具有一个或两个外伸部分的简支梁（图7-3c ）。

7.7 梁的刚度7.7.1 梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。

工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：⎩⎨⎧≤≤][][maxmax θθw w （7-10） 其中，max)(max x w w =，m ax)(max x θθ=分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w ，][θ分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。

工程中][θ通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：mlw =][ 是大的自然数是梁长，m l (上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。

（1）校核刚度给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。

计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。

很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。

（2）计算许可载荷给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。

如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。

（3）计算许可截面尺寸给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。

如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a ）所示的梁，其长度为m 1=L ，抗弯刚度为25Nm 109.4⨯=EI ，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。

第一章 绪论思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。

按其是否直接接触如何分类？试举例说明。

3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。

第二章刚体静力学基本概念与理论习题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。

2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。

2-3 求图中汇交力系的合力F R 。

习题2-1图12030200N F4560F 习题2-2图2-4 求图中力F 2的大小和其方向角α。

使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。

b)合力为零。

2-5二力作用如图，F 1=500N 。

为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和α角。

2-6 画出图中各物体的受力图。

(b)x453=30N =20N=40N A x45600N 2=700N0N 习题2-3图 (a )F 1习题2-4图F 12习题2-5图(b)(a )2-7 画出图中各物体的受力图。

(c)(d)(e)(f) (g) 习题2-6图(a)ACD2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。

(b)(d)习题2-7图P(d)(c)(a ) CA2-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。

2-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。

习题2-8图习题2-9图( a )1F 3 ( b )F 3F 2( c)1F /m( d )F 32-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b的大小。

第三章 静力平衡问题习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径D=120mm ，压力p =6N/mm 2，若α=30︒, 求工件D 所受到的夹紧力F D 。

( b )q ( c )习题2-10图B习题2-11图3-2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。