北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A

《概率论与数理统计》期末考试试题A

一、填空题(每题3分，共15分)

1、已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，且随机变量Z =2X -2，则E Z i =

2、设A、B是随机事件，PA]=0.7, PA-B]=0.3，贝U P AB V-

3、设二维随机变量

若X与Y相互独立，则八]的值分别为______________________ 。

4、设D(X)=4, D(Y)=1, R(X, Y )=0.6，贝U D(X—Y尸 _______________

n

5、

设X i,X2，川，X n是取自总体N(・i,；「2)的样本，则统计量AfX i」)2服从_________________

i A

分布•

、选择题(每题3分，共15 分)

1、一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】

(A) ——；(B) 旳一1) ；(C)亠;(D) .

a+b_1 (a+b)(a+b_1) a+b (a + b 丿

2、设事件A与B互不相容，且P A -0 , P B "0，则下面结论正确的是【】

(A) A 与B 互不相容；(B) P(B A )A0 ;

(C) P AB = P A P B ；(D) P AB = P A .

3、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N 0,1和N 1,1，则【】

1 “ 1

(A) P X Y 乞0 =-；(B) P X Y 乞1 =-;

2 2

j 1

(C) P X Y 乞0 ；

4、如果X,Y满足D（X D X -Y，则必有【】

（A）X 与Y 独立；（B）X 与丫不相关；（C）DY=O ; （D）DX =0

X的分布律为

5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且则随

机变量Z二max X ,Y的分布律为【】

1 1

（A）Pz=0 ,Pz" ；（B）Pz=0 =1,Pz = 1 =0 ；

2 2

（C）Pz" J'P"1电；（D）Pz=°电'PzE €。

4 4 4 4

三、解答题（共30分）

1.（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放

在一起，求：任意取出的零件是合格品（A）的概率•

2.（本题满分8分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P「Y . X ?.

3.（本题满分10分）设随机变量X ~ N 0, 1，Y = X2T，试求随机变量Y的密度函数.

四、（8分）设X的密度函数为f（x） -leY R , x・（」：，* ）

2

①求X的数学期望E（X）和方差D（X）；

②求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关？

五、（本题满分8分）二维随机变量（X , Y ）的概率密度为

求：（1）系数A ；（ 2）X ，Y 的边缘密度函数; 2 2

六、（本题满分12分） 设总体X ~ N T 二，二，其中丄是已知参数，- 0是未知

参数.X 2,…，X n 是从该总体中抽取的一个样本，

2 2

⑴•求未知参数匚的极大似然估计量：？; ⑵.判断C?2是否为未知参数 /的无偏估计.

七、（本题满分8分）设总体X ~ N 1L ,二2，其中且」与二2都未知，7：：：」：：：；

2

匚 0 •现从总体X 中抽取容量n =16的样本观测值％, X 2,…，为6 ,算出

1 16

1

16 2

x

x i

=503.75 , s

x i - x

6.2022，试在置信水平 1= 0.95 下，

16 i A 15 id

求丛的置信区间.

（已知:t 0.05（15）=1.7531, t 0.05（16 ）=1.7459 , t 0.025（15）=2.1315,

t °Q25 16 =2.1199 ）•

八、（本题满分8分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且强力

服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25件作强力试验，算

I 1 35

s- 一£（码-=95kg

得

，「二 ,问新产品的强力标准差是否有显著变化

？（分别

f(x,y)=，

0,

x . 0, y 0 其他

（3）问X ，Y 是否独立。

取二.丄和0.01,已知1厂」；〉-

1

1

《概率论与数理统计》期末考试试题参考答案

2

1 一 2

、填空题：1、2 ； 2、0.4; 3.

, ； 4、2.6; 5、忆(n)

9

9

二、 选择题：1、C ; 2、D ; 3、B ; 4、B ; 5、C 三、 1.解：设Bi=取出的零件由第i 台加工”(i =1,2)

2

1 P M-P B 1

P AB 1

PB 2PAB 2 A

0.97 0.98 =0.973

3

3

2.解：由题意知，X 的可能取值为：0, 1 , 2, 3; Y 的可能取值为：1 ,

3.

P ，：X =0,丫=3‘= 2 =8，P 牧=1,Y =*=C 3

11

=8，

*

1

3

0 0

1 8

1 3 8 0

2

3 8

3

1 8

(2) P V X^P'X =0,Y =3'=~

8 3.解：随机变量X 的密度函数为

f (x)=^^e

12兀

设随机变量Y 的分布函数为F

Y y ，则有 F Y y 「丫 乞 y ；=P ?X 2 1 辽 y ；

=P 〈X 2 乞 y

① .如果y -1乞0，即八1，则有F

Y y =0 ; ② .如果y • 1，则有 F

Y y = P?X 2 乞 y _仁=pl . y _1 乞 X 乞.y _1 ? ■u'R x2 e 2

dx

1 2 - r

・2

沪

e 2

dx y 1 0

所以,

X 2

f Y y 二 F Y y 二、2 二

2 x

2 - ： ：：

X ：

：：

y 乞1

2 上

e 2

----- y 1 2jy -1

y -1

2 J

P 「X =2,Y =1

、

C 2 1

丄, P 1X =3,Y =3； =

疋，