北京
【2020北京卷8】在等差数列{a n }中，a 1=-9，a 5=-1.记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列(T n } A. 有最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 最大项，有最小项
D. 无最大项，无最小项
【答案】 B ．
【解析】根据19a =-，51a =-，得到2d =，易知19a =-、27a =-、35a =-、43a =-、
51a =-、61a =，易知12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯有最大项，无最小项
【2020北京卷21】己知{a n }是无穷数列. 给出两个性质： ①对于{a n }中任意两项a i ,a j (i >j )，在{a n }中都存在一项a m ，使得
a i
2
a j
=a m ；
②对于{a n }中任意项a n (n ≥3)，在{a n }中都存在两项a k ,a l (k >l )，使得a n =a k
2a l
.
(Ⅰ)若a n =n (n =1,2,…)，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若a n =2n -1(n =1,2…)，判断数列{a n }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明: {a n }为等比数列. 【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）若()1,2,n a n n ==⋯，则{}n a 不满足性质①。
举反例：33a =，22a =，则
2
*329
2
a N a =∉ （Ⅱ）若()1
2
1,2,n n a n -==⋯，则数列{}n a 同时满足性质①和性质②，
（1）任取{}n a 中的两项()i j a a i j >,，则
()
()2
122121222
i i j i
i j j j a
a a -----===， 当2m i j =-时，满足性质①；
数列汇编
（2）对于{}n a 中任意一项3
n a n ≥（），其中1
2n n a -=
()()2
12
21
1
22
2k k l k
l l
a a ----===， 即存在k ，l ，使得2n k l =-成立即可，满足性质②
（Ⅲ）若{}n a 是递增数列，则123n a a a a <<<<……，由于数列同时满足性质①和性质②，则()01,2,3,n a n ≠=……，
（1）若10a >，则1230n a a a a <<<<<……，
对于{}n a 中任意两项()i j a a i j >,，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m j
a a a =，其中
0i j a a >>，则2i i m i i j j
a a
a a a a a ==⋅>，所以m i j >>；
（2）若10a <，假设存在k ，使得1210k k n a a a a a +<<<<<<<……，则{}n a 中最多有k 项
负数，根据性质①，当任意的2
i j
a a 为{}n a 中的项，其中k j ≥，且i j >，易知这样的项有无
数多个，故当10a <时，0n a <恒成立。
且对于{}n a 中任意两项()i j a a i j >,，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2
i m j a a a =，其中
0i j a a >>，则2i i m i i j j
a a
a a a a a ==⋅>，所以m i j >>；
综上所述，{}n a 中各项符号一致，且对{}n a 中任意两项()i j a a i j >,，在{}n a 中都存在一
项m a ，使得2
i m j
a a a =，其中m i j >>；
因为{}n a 满足性质②，取3n =，则根据性质②，()2
3k l
a a k l a =>，易知3l k >>，则2k =，
1l =，则2231a a a =，即123,,a a a 是等比数列，设3221
a a
q a a ==。
假设t 是满足11t t a a q -≠⋅的最小正整数，且3t >，即数列{}n a 的前1t -项为等比数列，
根据性质②，设()
2
2211
1
13
21t t t m t t a q a a a q a a q
-----=
==，则1m t >-，即m t ≥， 因为{}n a 是递增数列，则m t a a ≥，即11t m t a q a a -=≥ 根据假设11t t a a q -≠⋅，故仅有11t m t a q a a -=>。（*） 因为3t >，则根据性质②，有存在两项()k l a a k l ,,＞，使得
()
2
12121111k k l k
t l l a q a
a a q a a q
----=
== 其中t k l >>，1t t a a -<，根据（*）式
则有1t t m a a a -<<，即2211111t k l t a q a q a q ----<<
因为数列{}n a 的前1t -项为递增的等比数列，故101a q >⎧⎨
>⎩或10
01a q <⎧⎨<<⎩
故2211t k l t -<--<-，即12t k l t -<-<，其中，t 、
k 、l 若为正整数， 故此不等式无解，即假设不成立。 故对所有的*n N ∈，都有1
1n n a a q -=⋅，
即{}n a 为等比数列。
天津
【2020天津卷19】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 5=5(a 4−a 3),b 5=4(b 4−b 3)． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；
