求圆的切线方程的几种方法
四川省冕宁中学 谢玉
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M .
.
.
)(,.112002202020200000000
00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--
=--=∴=-=⋅ 解法二：利用向量求解
()
.
..
)(0
PM OM )
,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
用。
重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM
OM y x P y x M .
..
)()()
,(),(2200220202020002
22020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥
图1
图2
解法四：用待定系数法求解
1、 利用点到直线的距离求解
程同样适用。
当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵
化简整理得：
到切线的距离等于半径
原点 ⑴
即：则直线方程为：
为设所求直线方程的斜率.
.
.
202)(1)0,0(O 0),(,200220202020000020002202
2
02020200220220
00000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-
2、 利用直线与圆的位置关系求解：
程同样适用。当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵
整理得：得 消去 由）
（即：则直线方程为：
为设所求直线方程的斜率..
.
202)(0
)2)(1(4)(40
2)(2)1(010),(,200220202020000020002202
202020200220220020220220022002
02200022222000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r x ky x k y k kx y k r x ky x k y x kx y k x k y r y x kx y y kx kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=--++--=∆=--++-++⎩
⎨⎧=+=-+-=-+--=-
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。
