等角螺线及其它详解

等角螺线及其它

▪何谓等角螺线

▪等角螺线的方程式

▪趣史一则

▪等角螺线上的相似性质

▪黄金分割与等角螺线

▪等角螺线的弧长

▪等角螺线的再生性质

▪其它螺线举例

几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？

笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A1点的甲狗系冲向在

B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。同理，

图一

乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。

一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。

前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此

等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。

等角螺线的方程式

在坐标平面上，若极坐标方程式表示一等角螺线（），其极点是原点O，定角为α ( )，则因在点的切向量为

所以，可得

即

由此可得下述结果：

换言之，此等角螺线的极坐标方程式为

在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点A的极坐标为，则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：, , ,

前面所提的，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式

的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。

趣史一则

等角螺线的性质，笛卡儿（R. Descartes, 1596～1650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。托里拆利（E. Torricelli, 1608～1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨，以伯努利（J. Bernoulli, 1654～1705年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve)；求等角螺线的渐屈线(evolute)；求等角螺线反演曲线 (inversive curve)；求等角螺线的焦线(caustic curve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation)，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eadem mutata resurgo」（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线上的相似性质

根据等角螺线的方程式，可以看出：对每个θ 值，都有一个对应

的r值；而且不同的θ 值所对应的r值也不同（因为）。这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着θ 值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点

附近。若，则当时，曲线聚集在极点附近。若，则当时，曲线愈绕越远。图二是等角螺线的一部分。

图二

图三

若辐角,,,… 构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径，，，… 就构成等比数列。若令P n表示极坐标的点，则上述结果表示, , ,… 构成一个等比数

列。又因，所以可知与相似。由此可知：

构成一个等比数列。

若上述等差数列,,,… 的公差是，P1, P2, P3,… 等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。

对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线伸缩m倍，

则所得的图形是等角螺线。因为，所以可找到一个实数使得。于是伸缩后的图形为，这个图形其实就是等角螺线绕极点顺时针旋转角所得，它自然与原等角螺线全等。

根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线经伸缩成

，则在等角螺线，辐角θ 满足的弧，

经伸缩后必与该等角螺线上辐角θ 满足的弧全等。等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。例如：许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。

图四

黄金分割与等角螺线

环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？