1.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2=CE ?CA ．
（1）求证：BC =CD ；
（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若PB =OB ，CD
=，求DF 的长．
4. 5.已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连结DE ，DE=。
（1）求证：AM ·MB=EM ·MC ；（2）求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值。
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．???
（1）求证：KE=GE ；???
（2）若=KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；???
（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=
，求FG 的长．
6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知
∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作
BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点
8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是?上异于A,C的一
个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
9.（1）求证：△PAC∽△PDF；
10.（2）若AB=5，，求PD的长；
11.（3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）
=，
=，
=
===2
解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG2=KD GE，即=，
∴=，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（）2，
解得t=．
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．
.
4
5.
6.
7.
8.
