4静定结构的位移计
算
第4章静定结构的位移计算
4.1 计算结构位移的目的
结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。这些移动和转动称为结构的位移。此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。
例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b 所示。这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。
又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。此时，C点移至C'点，即C点的线位移为C C'。若将C C'沿水平和竖向分解（图4—2b），则分量C''C'和CC''分别称为C点的水平位移和竖向位移。同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。
计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。
此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
本章所研究的是线性变形体系位移的计算。所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。
4.2 功广义力和广义位移
在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。
例如在图4—3a所示结构中，A点处作用一个集中力F，待达到平衡以后，假设由于某种其他原因结构继续发生如图4—3b所示的变形，力F的作用点由A移动到A'。在移动过程中，如果力F的大小和方向均保持不变，则力F所作之功为
W
=F
∆
式中是A点的线位移AA'在力作用线方向的分位移，也称为与力F相应的位移。为了清晰，在图4—3a中没有标明由于力F作用而使结构发生的变形，在图4—3b中则没有标明使结构发生变形的原因。
对于其他形式的力或力系所作的功，也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子称为广义力，而另一个与位移相应的因子称为广义位移。这样，便可用统一而紧凑的形式将功表示为广义力与广义位移的乘积。下面对几种力系所作的功加以说明。
如图4—4a 所示结构，在A 、B 两点受有一对大小相等、方向相反并沿AB 连线作用的力F 。当此结构由于某种其他原因发生图4—4b 中虚线所示的变形时，A 、B 两点分别移至A '和B '。设以A ∆和B ∆分别代表A 、B 两点沿AB 连线方向的分位移，则这一对力F 所作之功（作功过程中二力大小和方向保持不变）为
()∆=∆+∆=∆+∆=F F F F W B A B A
式中∆=A ∆+B ∆代表A 、B 两点沿其连线方向的相对线位移。由上式可见，广义力是作用于A 、B 两点并沿该两点连线作用的一对等值而反向的力，在式中以F 来代替，而取A 、B 两点沿力的方向的相对线位移作为广义位移。
又如图4-5a 所示结构，在C 、D 两结点上作用着与CD 相垂直的等值而反向的两个力F 。设由于某种其他原因使结构发生位移时，C 、D 两点分别移至'C 、'D 的位置（图4-5b ），并用C ∆和D ∆分别表示C 、D 两点沿力F 方向的分位移，则这两个力F 所作之功（作功过程中二力大小和方向保持不变）为
()d
d F F F F W D C D C D C ∆+∆⋅=∆+∆=∆+∆= 式中d 为CD 杆长，所以Fd 即代表两个等值而反向的力F 所形成的力偶矩Fd M =。又注意到在微小变形假设的前提下，结构变形的位移是微小的。因此，在图4-5b 中，当CD 杆的转角为ϕ时，则有
d EC ED D C ∆+∆≈≈'
'ϕ 故二力所作总功可写为
ϕM W =
因而在目前情况下，所取的广义力为力偶矩M ，广义位移为CD 杆的转角ϕ。
再看图4-6a所示两端受等值而反力的力矩M作用的简支梁AB，当由于某种其他原因发生图4-6b中虚线所示的变形时，其两端力矩所作总功（作功过程中M的大小保持不变）为
()ϕ
αM
β
α
β
=
+
=
+
M
M
M
W=
由上式可知，可取作用于A、B两端等值而反力的力矩M作为广义力，而取A、B两端截面的相对转角ϕ作为广义位移。
由以上例子可见，作功时广义力与相应广义位移的乘积具有相同的量纲，即功的量纲。
4.3 计算结构位移的一般公式
4.3.1 外力虚功和虚应变能
由上节可知，功包含两个要素——力和位移。当作功的力与其相应的位移彼此独立无关时，就把这种功称为虚功。作用在结构上的外力(包括荷载和支承反力)所作的虚功，称为外力虚功，以W 表示。
由于在虚功中，力和位移是彼此独立无关的两个因素，例如上节讨论的功，其中作功的力是取自图4—3a 至图4—6a ，而位移因素是取自图4—3b 至图4—6b 。因此，可将虚功中的两个因素看成是分别属于同一结构的两种彼此无关的状态，其中力系所属状态称为力状态(如图4—3a 至图4—6a)，位移因素所属状态称为位移状态(如图4—3b 至图4—6b)。
当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以v 表示。
对于杆件结构，设力状态(图4—7a)中杆件任一微段dx 的内力为1N F 、
1Q F 、1M (图4—7c)；而位移状态(图4—7b)中杆件对应微段的相对变形，即正应变2ε、切应变2γ和曲率2κ分别如图4-7d 、e 、f 所示。当略去高阶微量后，微段上的虚应变能可表为
