4.2 相交线和平行线 典型例题及强化训练
课标要求
①了解对顶角，知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1.判定与性质 例1 判断题：
1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁角互补 ”。
(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。
分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引
一条直线EF ∥AB ，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证
EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。
证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠1（两直线平行，错角相等）。
∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作），
∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D=∠2（两直线平行，错角相等）。 又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D （等量代换）。
变式1已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。
分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的∠BED 都是指小于平角的角，如果把∠BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁角互补）。 ∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作），
∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D ）（等式的性质）。 变式2已知：如图7，AB ∥CD ，求证：∠BED=∠D-∠B 。
A B
E
D
F
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED=∠D（两直线平行，错角相等）。
∵∠BED=∠FED-∠FEB，
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。
变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。
分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁角互补）。
∴∠1+∠2+∠D=180°。
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。
即∠BED=∠B-∠D。
例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，错角相等）。
过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，错角相等）。
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵EH∥CD （已知），
∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠2=∠3（两直线平行，错角相等）。
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠BFE=∠FEC。
证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。
∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠ABF（两直线平行，错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠1=∠DCE（等量代换）。
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，错角相等）。
如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过
程略）。
证法三：（如图12）连结BC。
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质）。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC（错角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，错角相等）。
强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3= ∠4（已知）， __∥___
（ ） ②∵∠5= ∠DAB （已知），
∴____∥______（ ）
③∵∠CDA + =180°（ 已知 ）， ∴AD ∥BC （ ）
2. 如图,已知DE ∥BC,BD 是∠ABC 的平分线，∠EDC ＝109°， ∠ABC ＝50°则∠A 度，∠BDC ＝ 度。
3. 如图，AB ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC ，∠BCD, 则∠AEB ＋∠CED= 。
4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。
5、已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二.选择题
1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A 南偏西50度方向；
B 南偏西40度方向 ；
C 北偏东50度方向 ；
D 北偏东40度方向
2.如图,AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 D.2个
3、同一平面的四条直线若满足a ⊥b,b ⊥c,c ⊥d,则下列式子成立的是（ ）
A 、 a ∥d
B 、b ⊥d
C 、a ⊥d
D 、b ∥c
4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( ) A. 50° B. 60° C.70° D.80° 5.已知：AB ∥CD ，且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF 的度数是 ( )
A. 160°
B.150°
C.70°
D.50°
6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（ ） （A ）∠1＝∠3 （B ）∠2＝∠3
（C ）∠4＝∠5 （D ）∠2＋∠4＝180°
7.（ 市海淀区2003年）. 如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a//b ，则下列结论：(1)21∠=∠；(2)31∠=∠；(3)23∠=∠中正确的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 8.（2004年省富阳市）下列命题正确的是（ ）
A 、两直线与第三条直线相交，同位角相等；
B 、两线与第三线相交，错角相等；
A
B
C
D
E
F
G
H
1
A
B
E
D
C
5
4
3
C
D A B
