考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1)0

lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.

(2)

sin t tdt π

=⎰

＿＿＿＿＿＿.

(3)曲线0

(1)(2)x y t t dt =--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4)设

()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.

(5)设()f x 是连续函数,且1

()2

()f x x f t dt =+⎰

,则()f x =＿＿＿＿＿＿.

(6)设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x

⎧+≤⎪

=⎨>⎪

⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.

(7)设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)

已知arcsin y e =,求y '.

(2)求

2ln dx x x ⎰.

(3)求10

lim(2sin cos )x

x x x →+.

(4)已知2ln(1),arctan ,

x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22

d y

dx . (5)已知

1

(2),(2)02

f f '==及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.

三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内.) (1)设0x >时,曲线

1

sin y x x

=()

(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2)若2

350a

b -<,则方程532340x ax bx

c +++=()

(A)无实根(B)有唯一实根

(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根 (3)曲线cos ()2

2

y x x π

π

=-

≤≤

与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为()

(A)2

π

(B)π(C)

22π(D)2

π

(4)设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处

()

(A)必取极大值(B)必取极小值

(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定

(5)微分方程1x

y y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数)()

(A)x

ae b +(B)x

axe b +(C)x

ae bx +(D)x

axe bx +

(6)设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是()

(A)

1

lim [()()]h h f a f a h

→+∞+-存在 (B)0(2)()

lim h f a h f a h h

→+-+存在

(C)0()()

lim 2h f a h f a h h

→+--存在

(D)0()()

lim h f a f a h h

→--存在

四、(本题满分6分)

求微分方程2(1)x

xy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.

五、(本题满分7分)

设0

()sin ()()x

f x x x t f t dt =--⎰

,其中f 为连续函数,求()f x .

六、(本题满分7分)

证明方程0

ln x x e π

=

-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、(本大题满分11分)

对函数

2

1

x y +=

,填写下表： ((

八、(本题满分10分)

设抛物线2

y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为

1

3

,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】

12

【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0

型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一：000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x x

x x x

x x x

→→→==⋅

0011

lim lim sin 22cos 22x x x x x →→==洛. 方法二：00cos 2lim cot 2lim sin 2x x x

x x x x

→→=

【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x x

x

→=.

(2)【答案】π

【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,

[]00sin (00)t π

πππ=++=+-=.

(3)【答案】2y x =

【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知

0(01)(02)2x y ='=--=.

所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n

【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即

lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅

⋅+=⋅⋅⋅=.

方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,

(1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅,