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7数学教师专业发展研究综述宋晋荣1 林梦雷1 刘达卓2教师是一种专门化的职业，是履行教育教学工作的专业人员，教学质量的提高取决于教师专业发展。
因此，教师的专业发展问题自20世纪80年代以来就一直是教育界的一个研究热点，全美数学教师理事会把“教师专业发展”作为一个重要研究领域，专门颁布了“数学教师专业发展标准”（Profession standards for school mathemaics）。
“教师专业化”主要是强调教师群体的、外在的专业性提升，而“教师专业发展”是指教师个体的、内在的专业性的提高，是指教师内在专业知识结构不断更新变化的过程，是一个有意识的、持续进行的动态发展的过程。
其核心是教师专业知识的发展，美国学者舒尔曼为突出教师的专业性而提出——学科教学知识的概念，指：“将特定的学科知识与教学法知识融合，突出强调教师能够将复杂难懂的学科知识，用适合学生的思维方式重新表征。
”本文对国内外专家学者在数学教师专业发展上的观点进行综述，分析近年来基础教育阶段数学教师专业发展的研究现状，并对未来数学教师专业发展研究趋势做出展望。
1数学教师专业发展的若干研究1.1中国数学教师专业发展研究的历程1978年——1990年：研究初步探索阶段，1991年——1999年：研究全面提升阶段，2000年——2008年：研究深化阶段。
1.2中国数学教师专业发展研究的主要特征 （1）内容层面：由少到多、由浅入深第一，从研究影响教师认知的因素到研究影响教师情感的因素再到研究教师的认知信念的拓展，经历了从“知与不知”到研究“愿与不愿”再到研究“信与不信”的深化过程，多数数学教师认知研究是关于教师的知识、能力、信念等，而关于数学教师情感研究较少，正在逐步展开。
（2）理论层面：从学习国外先进理论到自我理论建构的探索国外学者舒尔曼等提出的数学教师知识结构理论，布朗提出关于成为一名数学教师的假设理论，波利亚的解题理论等，这些外来理论的借鉴，推动了我国数学教师专业水平的提升。
核心素养视角下2024年全国新高考适应性测试数学试题难度评析与备考启示文尚平1，2农雅婷2卢玉琦2杨璧华2（1.西北师范大学教师教育学院；2.南宁市第二中学）摘要：2024年全国新高考适应性测试试题的命题风格、试卷结构、难度系数、综合素养水平代表着高考改革的趋势和方向，将在2024年新高考中全面体现。
课题组借助喻平的数学关键能力评价框架和鲍建生的综合难度系数模型，分别对此次适应性测试试题所蕴含的数学核心素养水平和试题的综合难度进行分析，探寻两者之间的内在关系，通过对新高考命题的趋势、特点等开展实证研究，提出备考启示：深化基础，强化对数学学科本质的理解；注重素养，强化对数学教育内核的追求；改善教学，强化对数学思维能力的培养。
关键词：数学核心素养；综合素养水平；综合难度系数；适应性测试中图分类号：G63文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0053-06作者简介：文尚平，1983年生，广西桂林人，在读博士研究生，高级教师，研究方向为中学数学课程与教学论；农雅婷，1986年生，广西崇左人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；卢玉琦，1987年生，广西宾阳人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；杨璧华，1984年生，广西南宁人，本科，学士，高级教师，研究方向为中学数学教育教学。
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）系统提出了六大数学学科核心素养及水平的划分，明确了数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，拉开了数学学科核心素养从理念层面走向教学实践的序幕，并将数学科核心素养的培养贯穿新教材、新课程和新高考“三新”综合改革的全过程［1］。
2019年，《中国高考评价体系》明确提出高考命题要突出考查学生的必备知识、关键能力及学科思维，以核心素养为导向的基础教育考试评价日益成为社会关注的焦点。
核心素养的测评是以区分度为主要依据开展的，而试题的区分度与试题的难度又有着紧密的联系。
立足数学核心素养分析中考压轴题作者：***来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第01期【摘要】本文用核心素养的三个水平分析压轴题，建议数学试题命制中可融入核心素养制作多维细目表，用核心素养三个水平来调控试题的难度，也可评定结构不良试题的得分.启发教师在教学中应培养学生数学正迁移能力，精准把握学情，来逐层落实数学核心素养.【关键词】核心素养;三个水平;正迁移;逐层《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出发展学生的六个数学核心素养，切实提升思维品质和关键能力.中考数学最后一题，又称为压轴题，有区分选拔功能.笔者立足这六个数学核心素养来分析2018—2020这三年的陕西省数学中考最后一题（第25题），揭示命题特点，给出命题建议和教学建议.1 相关概念知识喻平教授[1]分析了布鲁姆评价模型、PISA数学素养评价框架、SOLO分类评价理论，提出将数学核心素养划分为三个水平，从低到高依次是知识理解、知识迁移和知识创新.同时，参考李先东老师和吴增生老师[2]对初中数学核心素养的三个水平的划分标准，对各试题进行素养观察.数学抽象A、逻辑推理R、数学建模M、数学运算C、直观想象I、数据分析D，A1，A2，A3分别对应数学抽象的三个水平，其他素养类似.2 对近三年陕西省数学中考第25题评析2.1 2018年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值為;（2分）问题探究（2）如图2，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM 的最大值;（3分）问题解决（3）如图3，AB，AC，BC是某新区的三条规划路，其中，AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB，AC 路边分别建物资分站点E，F.也就是，分别在BC、线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值.（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）（7分）核心素养水平分析：（1）如图4，能画出外接圆，则达到直观想象素养水平1的要求;三步演绎推理出结果，标定为逻辑推理素养水平1.分值标定为I1-1，R1-1.（2）如图5，能发现当射线MO与⊙O相交时，PM最大，则达到直观想象素养水平2的要求;能严谨地论证为什么此时MN最大，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-2，R2-1.（3）如图6，若能在陌生情境中跨学科联想到物理中的“光行最短”原理，将边AB和AC 看作平面镜，点光源P发出的光线经过两次反射回到点P，进而在BC上找一点P，构造将军饮马模型，且发现当连接AO时AP最小，如图7，此时线段MN最小，则达到直观想象素养水平3和数学建模素养水平3的要求，其中也考查了数学抽象素养水平3;能严谨地证明为什么线段MN是PE+EF+PF的最小值，和证明为什么当连接AO时AP最小，则达到逻辑推理素养水平3的要求;能在较复杂的情境中选择合适的运算方法，并体会代数推理，则达到数学运算素养水平3的要求.分值标定为I3-2，A3-1，R3-1，M3-1，C3-2.2.2 2019年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图8，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形;（2分）问题探究（2）如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离;（5分）问题解决（3）如图10，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以，请说明理由.（塔A的占地面积忽略不计）（5分）核心素养水平分析：（1）能在熟悉的情境中画出平行四边形，则达到直观想象素养水平1的要求.分值标定I1-2.（2）如图11，能构造出以边BC为直径的圆，则达到直观想象素养水平2的要求;如果能用准确的数学语言演绎推理出所有满足条件的点P，且论证在OB>AB的条件下，⊙O一定与AD相交于点P，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-3，R2-2.（3）能由平行四边形的性质推理出∠BE′D=60°，且严谨地论证EF≤E′A，标定为逻辑推理素养水平2;构造出⊙O，如图12，发现当E′为中点时，面积最大，标定为直观想象素养水平3;计算得到结果，则达到数学运算素养水平2的要求.分值标定为R2-1，C2-2，I3-2.2.3 2020年第25题试题呈现及分析问题提出（1）如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是;（3分）问题探究（2）如图14，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长;（4分）问题解决（4）如图15，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m，点C 在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P 分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y （m2）.①求y与x之间的函数关系式;②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.（5分）核心素养水平分析：（1）能在熟悉的几何情境中写出证明过程，则达到逻辑推理素养水平1的要求.分值标定R1-3.（2）如图16，能根据求解需要，由PB=2PA想到连接OP，则达到直观想象素养水平2的要求;能将（1）结论迁移，推理出其他元素的关系，标定为逻辑推理素养水平2;在较复杂的图形中，能结合元素间关系和数据选择合适的运算方法，则达到数学运算素养水平2的要求.分值標定为I2-2，R2-1，C2-1.（3）如图17，能在复杂的情境中，用图形旋转转化阴影面积，标定为直观想象素养水平3;能严谨论证阴影面积转化前后不变，探索并用准确的语言推理图形间的数量关系，标定为逻辑推理素养水平2;能在较复杂的几何图形中建立二次函数模型，标定为数学建模素养水平3;其中蕴含了数学运算，为水平2.分值标定为I3-1，R2-1，M3-1，C2-2.2.4 总体评析（1）指向核心素养由表1得：①这三年的直观想象、逻辑推理和数学运算三个素养的权重较大，原因是第25题主要是“图形与几何”内容，在几何直观和空间想象的基础上进行有逻辑地思考，涉及部分代数推理，兼有数学运算素养.2019年数学运算权重增加，平衡代数和几何的比例.②数学抽象和数学建模考查较少.仅2018年问题（3）从跨学科的视角考查了数学抽象.三个试题第（3）问虽都以现实问题为背景，但给出了对应的几何图形，免去了从实际问题抽象出几何图形的过程，可能由于脱离几何图形来描述现实情境容易产生歧义.2020年问题（3），若题目中不给定变量x和y，直接让求阴影面积的最大值，则要求考生在体会图形的形成过程中，来找到决定阴影面积的关键量是线段AP的长度，自己引入变量来列关系式，这样会考查到数学抽象素养.（2）关注内在迁移这三道压轴题的五个核心素养水平2的总权重为50%，考查知识迁移最多.2018年问题（1）中顶角为120°的等腰三角形的线段和角之间的数量关系是解决（3）要用到的.问题（2）中圆内部一点到圆上的距离，什么时候最短或最长：该点和圆心的连线与圆的交点就是最短位置或最长位置，点在圆外也是一样的，这样（2）的活动经验可以来解决（3）.2019年问题（1）中根据平行四边形的性质画图，（2）中寻找并求出△BCP面积最大值的数学活动经验，可以迁移解决（3）.2020年问题（2）、（3）均用到了（1）的图形和结论，（2）中圆周角定理的推论也是求解（3）要用到的.每个试题的三问之间考查了学生的数学迁移能力.试题的三问从易到难，层层递进，是一个有机的整体.考查考生是否能识别三问之间的共同要素逐步求解问题（3）.在设计各小问时，如果后一问用到前一问的结论，考查较简单;若后一问用到前一问的解题思路和活动经验，相对提升了难度，整个图形的元素关系发生较大改变，相应的核心素养水平要求更高.3 命题建议3.1 融入核心素养制作多维细目表这三个试题主要载体是特殊四边形和三角形内容，蕴含数形结合思想，指向直观想象和逻辑推理;2020年增加了函数，指向数学建模和数学运算.可见，“四基”影响着核心素养的内容（即考查哪个核心素养）.由于核心素养的三个水平分别对应知识理解、知识迁移和知识创新三种不同的能力，可以用三个水平来调控试题的难度和区分度.一般地，同一个知识内容，核心素养水平级越高，考查的素养类别越多，试题难度就越大.如2018年的第25题第（3）问是这三个试题中难度最大的，考查了五个素养，且均为水平3.基于以上分析，可以制定表2，保证压轴题的综合性和区分度.3.2 用“三个水平”评价结构不良试题可命制结构不良试题[3]，如当试题的问题部分的内容缺失或冗余时，让考生通过补充问题或删减多余的问题内容，来提出新问题并解答;或让考生改变题目条件，写出能产生的新结论.对于结构不良试题的评分，可分析所提出的新问题或新结论是对应核心素养的哪个水平，水平越高赋分越高.4 教学启示4.1 “逐层”落实数学核心素养初中数学分为“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”和“综合与实践”四个领域，具体地，“数与代数”领域主要指向数学抽象、数学建模、代数推理和数学运算;“图形与几何”内容主要指向直观想象和逻辑推理;“概率与统计”主要指向数据分析.而数学核心素养被划分为知识理解、知识迁移和知识创新三个水平层次，教师应针对每个领域知识，系统地分析教材内容，依托数学内容环环相扣的特点来循序渐进地逐层发展学生的数学核心素养.教师在备课中应分析学生已有的与该章节内容有关的数学核心素养水平级情况，再结合每节教学内容，进一步思考应设置怎样的学习驱动任务，让学生达到相应的核心素养的哪个层级，最终提高数学核心素养水平.4.2 培养数学正迁移能力[4]一方面，当学习A和学习B有共同要素时，迁移就能发生.学习者能否识别概括出共同要素很关键，故可通过提高学习者的概括能力来培养数学正迁移能力.另一方面，当学习者大脑中有一个稳定清晰的数学认知结构时，面对新任务，就能唤醒已有的数学知识和经验来解决问题.如2018年第25题，对于最短路径，初中阶段数学相关依据是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，物理中有“光行最短”原理，在“将军饮马”模型的构造中关联着等腰三角形的性质.考生若能将以上知识及其关系清晰地有逻辑性地存储在大脑中，形成自己的认知结构，题目便能求解.教师应挖掘知识间的内在逻辑关系，把知识点放在知识结构中去认识，基于单元整体乃至整个初中学段的课程的角度设计教学案例，来完善学生的认知结构.参考文献[1]喻平.学科关键能力的生成与评价[J].教育学报，2018，14（2）：34-40.[2]李先东，吴增生.核心素养视角下对数学测评的研究[J].数学教育学报，2017，26（5）：36-43.[3]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020，59（2）：1-3.[4]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018：108-111.作者简介成鸣娟（1988—），女，陕西渭南人，中教一级，硕士;参与完成两项西安市教育规划课题，主持完成一项陕西省教育规划课题“初中生数学迁移能力的培养研究”，多次被评为“希望杯”全国数学竞赛优秀辅导员;发表多篇论文.。
（本文刊发于《中国数学教育》2014年第12期头版）编者按：问题解决（或数学建模）是中小学数学教学最为困惑的模块之一.《数学慧眼》介绍的代数应用情境学习策略（简称：DYQ学习策略）以教育数学思想为指导、以情境学习为策略、以揭示数学情境本质为目标，从独特的视角、用数学的眼光、打破了传统思维的方式，突破了数学认知封闭的屏障，系统地介绍了代数应用题审题方法和程序.在着眼于中小学代数应用题模块教学和学习新结构、新方法、新体系建设的同时，对已有的研究成果进行改造，提供了更简单的逻辑结构，更有力的解题方法，更平易近人的数学概念.诠释了《标准》问题解决的“基本方法”.它将成为我国第一本系统论述数学建模基本技能训练的教程，对于学生数学建模能力提升意义深远.大道至简悟者天成——兼评《数学慧眼》对问题解决的教育价值田献增山东省日照市新营中学 276826李忠海沈阳航空航天大学自动化学院 110136摘要：《标准》强调：使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程. 构建数学模型是中小学教学的难点.《数学慧眼》借生活情境独辟蹊径，从数学语句的理解到数量关系的再认识，从示意图的画法到表格的设计，系统地给出了“DYQ学习策略”，这一普适性方法.用教育数学的思想，诠释了课程标准中问题解决的基本方法.关键词：问题解决、数学建模、基本数量关系、教育数学、基本方法、国家课程校本化国内首次提出“问题解决[1]”是在2011年版《义务教育数学课程标准》（简称：《标准》）中，问题解决是数学的核心问题.[2]中小学问题解决主流题型是代数应用题，它是公认的中小学数学教育难点.一、代数应用题教学面临的问题代数应用题学习的难点是理解题意，即，“审题”.它是国内外数学研究的一个盲点.1. 国内外对审题的研究（1）国外. 对于问题解决的研究，Mayer等人（1984）提出代数应用题解决的四个阶段：转译（transltion）、整合（integration）、计划（planning）和执行（execution）.Sebrechts 等人（1996）对已有解决代数应用题的认知模型加以完善.将问题解决分为：问题转译、问题整合、解题计划和解题执行.[3]“问题转译与问题整合构成了个体的对问题的理解过程，即传统意义上的审题阶段.” [4]显然，对于这一关键阶段，国外没有给出具体实施方法.（2）国内.中小学数学建模的文献大多集中在用摸上.罗增儒教授根据G·波利亚的“怎样解题”表[5]研究的“怎样解应用题”表，[6]可以说是国外内公开文献中，最为系统完整的代数应用题审题方法了. 但对“关键词”的认识，“基本关系”概念的理解、“相等关系”的寻找、“列个表、画张图”的方法等等也没有给出系统说明.2.教科书对审题过程没有系统介绍教科书对代数应用题审题的指导大多是“弄清题意，找出数量关系”.至于怎样弄清题意、怎样找出数量关系没有介绍.即使例题的“分析”，也没有明确统一的思想.这可以理解为《标准》中“从不同角度寻求分析问题的方法”的要求.但也从另一方面反映了目前对应用题审题，缺少思想统领.二、对代数应用题建模过程的思考数学题可分：“已完成数学抽象和加工的‘成品’问题”和非数学领域且用数学工具来解决的实际问题.[7]即，传统意义上的模型为算式、方程、不等式或函数等应用题.它来源于生活情境的抽象或有目的地设计如图1过程1.解应用题先要建立数学模型如图1过程2，然后用数学知识解模，如图1过程3.图11.建模障碍分析目前学习或解答代数应用题难点在于图1中的过程2.结合“怎样解应用题”表知，过程2中至少还存在以下几方面有待研究，即：与“关键词”有关数学语句的理解；与“相等关系”对应的数量关系的认识，与“基本关系”对应的“基本数量关系”的认识，与“画张图”对应的图示法的应用范围和画法，以及与“列个表”过程中的分类和表格的设计.2. 代数应用题建模必备条件建立应用题数学模型需要“找出所有等量关系”. [8]建立简单应用题模型（模型只含一步运算）只需一个数量关系，复杂应用题模型（模型包含多步运算）需若干个独立的数量关系，并且缺一不可（变形的除外）.3. 数学建模重在把握生活情境的数学本质数学建模重在抓住生活情境的数学本质.举例如下：某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8元.这种书包的进价是多少？（北京教育科学院、北京出版传媒集团义务教育教科书数学7年级上册，2013年6月，第120页例4）教科书给出的审题过程是“分析：……在这个问题中的相等关系是：实际售价-进价=利润①…….”事实上，解答上述问题还必须利用下面的数量关系：进价×（1+50%）=标价➁；标价×80%=实际售价➂.（若细分涉及的数量关系个数目还可增加）笔者认为教科书中的分析有欠缺，相等关系①不是该情境数学本质的全部.原因是：若去掉例题中的问题可得数学情境：“某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8元……”与原题比较：（1）数学情境的本质没有改变，即，仍包含数学量关系➀➁➂；（2）还可设计问题：这种书包的标价是多少？这种书包的实际售价是多少？等等；（3）解答（2）中问题的数学模型还是利用数量关系➀➁➂.因此说数量关系➀➁➂是该情境数学本质的全部，它不随具体问题的变化而变化。
学科教学（数学）专业硕士硕士培养方案（专业代码: 045104）一、培养目旳培养掌握现代教育理论、具有较强旳教育教学实践和研究能力旳高素质旳中小学教师。
详细规定为:（一）拥护中国共产党领导, 热爱教育事业, 具有良好旳道德品质, 遵纪遵法, 积极进取, 勇于创新。
（二）具有良好旳学识修养和扎实旳专业基础, 理解学科前沿和发展趋势。
（三）具有较强旳教育实践能力, 能胜任有关旳教育教学工作, 在现代教育理论指导下运用所学理论和措施, 纯熟使用现代教育技术, 处理教育教学中旳实际问题；能理论结合实践, 发挥自身优势, 开展发明性旳教育教学工作。
（四）熟悉基础教育课程改革, 掌握基础教育课程改革旳新理念、新内容和新措施。
（五）能运用一种外国语阅读本专业旳外文文献资料。
二、招生对象具有国民教育序列大学本科学历（或本科同等学力）人员。
三、学习方式及年限采用全日制学习方式, 学习年限一般为2年。
四、课程设置课程设置要体现理论与实践相结合旳原则, 分为学位基础课程, 专业必修课程,专业选修课程, 实践教学四个模块。
总学分不少于36学分。
学科教学（数学）全日制教育硕士专业学位硕士培养方案课程设置表有关实践教学（6学分）实践教课时间原则上不少于1年。
实践教学包括教育实习、教育见习、微格教学、教育调查、课例分析、班级与课堂管理实务等实践形式, 其中第二学期最终3周在校内进行教师岗位培训, 使硕士具有良好旳师德和敬业精神、可以写好教案、可以辅导和答疑中小学生、具有良好旳演讲能力和课堂组织能力, 为履行教师职责打下坚实旳基础。
第三学期到中小学进行顶岗实习。
五、教学方式要重视理论与实践相结合, 采用课堂参与、小组研讨、案例教学、合作学习、模拟教学等方式。
应在中小学建立稳定旳教育实践基地, 做好教育实践活动旳组织与实行。
成立导师组负责硕士旳指导, 并在中小学聘任有经验旳高级教师担任指导教师, 实行双导师制。
六、学位论文及学位授予（一）学位论文选题应紧密联络基础教育实践, 来源于中小学教育教学中旳实际问题。
数学核心素养的内涵、评价及培养数学核心素养的内涵、评价及培养目前对数学核心素养的研究主要集中在以下几方面：数学核心素养的内涵及构成要素；数学核心素养的测量和评价；数学核心素养的培养。
一、数学核心素养的内涵及构成要素1.数学核心素养的内涵和缘起《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。
高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。
”面对未，教育应该赋予学生的到底是什么？从上世纪下半叶开始，联合国教科组织、欧盟、国际经合组织等机构即开展了对此问题的相关研究，美国、日本等国家相继跟进，并提出了各自的“核心素养”结构模型，虽然素养的具体指标不尽相同，但都是在回答相同的问题：21世纪培养的学生究竟应该从学校教育中获得哪些最为重要的知识、能力以及情感态度，才能成功地融入不可预知的未社会，才能在满足个人自我实现需要的同时，成为社会发展的推动者？我国在借鉴国际经验的同时，结合本国实际，建构了中国学生发展核心素养指标体系，“核心素养”被定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。
从价值取向上看，它反映了“学生终身学习所必需的素养与国家、社会公认的价值观”；从指标选取上看，它既注重学科基础，也关注个体适应未社会生活和个人终身发展所必备的素养。
和“四基”相比，核心素养的课程逻辑超越了知识本位的课程观，力图改变现有课程过于强调学科体系逻辑、课程标准过于重视内容标准、学科教学过于强调知识传授的倾向，从“课程育人”的角度回答“育人为本”的问题。
按照这一逻辑，在回答“学什么”之前，更应该思考的是，学生在学习了各学科课程后，到底留下了什么？因此，在新一轮高中课程标准修订的时候，每门课程必须厘清“本学科对学生成长的特殊贡献是什么、具体内涵如何解构”等问题。
我国数学教育应当研究的若干问题喻 平（南京师范大学课程与教学研究所 ２１００９７） 我们从数学课程与教材、数学教学、数学教育心理、数学教育哲学等四个方面，对１９７８年以来我国数学教育研究的基本情况作了比较系统的梳理和分析［１］［２］［３］［４］，并对一些重要的研究成绩作了评述，对３０年来研究的不足作了分析和反思［５］．本文在这个基础上，并结合国外的相关研究，从数学教育哲学、数学课程、数学教学、数学教学心理、数学教师专业发展等方面，提出我国数学教育应当研究的若干问题．１ 数学教育哲学与数学课程设计哲学的作用就是为教育与课程理论提供思辨的前提，课程思想是哲学家的哲学观点在教育领域的延伸［６］．课程设计必然受到哲学思想的影响．从课程的本体论基础看，唯心主义的本体论上强调先天理性和自由意志，偏爱文雅教育排斥经验与科学的重要性；唯实主义强调环境对心灵的影响，重视科学教育；实用主义主张心物交互作用，坚信活动课程的价值；存在主义强调经验的意义，主张培养学生完善人格，达到自我实现的课程观．那么就我国的课程设计来说，应当思考：我国数学课程设计应当是什么样的本体论基础，并对这种基础的合理性和可行性进行分析．从课程的认识论基础看，主要反映在对知识性质的不同理解上．对知识本质的不同认识会导致课程设计时对内容选择、内容编排的不同倾向性，就我国的课程改革而言，应当思考：选择什么数学认识论作为课程设计的基础是合适的；数学课程设计是基于一种数学认识论观点还是基于多种数学认识论观点．从课程的价值论基础看，数学课程目标直接反映数学教育的价值［７］．对教育目的的认识涉及不同的价值判断：个人主义与社会主义、理性主义与功利主义、科学主义与人文主义、精英主义与平等主义、现时主义与未来主义等［８］．结合我国国情，在课程编制中应当思考：数学课程目标的价值追求，实现这种价值追求的可能性和可行性．２ 数学教育哲学引领下的数学教学Ｅｒｎｅｓｔ基于数学哲学把数学教育观念分为５种类型：严格误导派、技术实用主义、旧人文主义、进步教育派、大众教育派［９］，并分析了这些观念对数学教育产生的实质性影响．教师的教育观念制约自身的教学观念和教学行为，这是一个基本的共识．应当研究：我国数学教师的基本教育观念是什么；西方数学教育观对我国数学教学观产生了多大影响；实现教学目标的合理性教学观念体系建构；基于不同教学观的课堂教学结构分析；与不同教学内容适配的教学观念定位分析．３ 数学文化在数学课程与教学中的渗透张维忠对数学、文化、课程三者的关系作了比较深入的研究，从数学文化角度考察其对数学课程发展的影响［１０］．需要进一步研究的问题：数学文化视野下的课程设计；数学文化视野下的教学范式；数学文化视野下的学习范式；数学文化视野下的教学评价等等．４ 数学课程设计的教育理论基础课程改革必须考虑新课程设计的理论基础，新一轮课程改革的理论基础混乱是推行课程实施步履维艰的原因之一［１１］．在课程标准的修订和新一轮课程改革时要对如下问题进行深入研究：课程与教学理论的发展对数学课程设计的启示；数学课程设计的哲学基础、心理学基础、教学论基础、社会学基础研究；数学课程设计中理论基础的和谐性与协同性．５ 化解课程实施中的教学基本矛盾课程的变革必然带来教学的变革，原来课程与教学中平衡的矛盾关系被打破，形成一些无法回避的新的矛盾［１２］［１３］，直接结果是给一线教师带来教学层面的操作性困难．需要研究：如何正确处理数学教学中的基本矛盾，包括文化教育与科学教育的矛盾、过程与结果的矛盾、实验与论证的矛盾、归纳与演绎的矛盾、理论与应用的矛盾、证实与证伪的矛盾等；平衡或消解数学教学基本矛盾的教学策略．６ 课程实施的效果评价如果在课程目标的设置时没有充分考虑学习结果应当如何评价，即在课程目标设计时没有考虑到用怎样的方式去评价教学实际结果与课程目标的达成程度，评价手段、技术、工具能否真正反映课程目标的实现与否，那么这种课程设计会产生致命缺陷，因为学习结果评价反而会控制课程目标，形成新的教学目标而偏离原来的目标．在课程与教材设计时要做到课程目标设计与学习结果评价工具的研制同步，需要研究：课程目标变化之后评价理论的适应性；课程目标与评价工具的匹配性；数学考试命题的实质性改革等问题．７ 隐性数学课程资源的开发隐性数学课程资源指不以文本形式显性表述的，而是潜藏于显性知识深层的隐性知识，如数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等［１４］．开发和利用隐性数学课程资源对于充分体现数学教育的功能有着十分重要的作用，需要研究：隐性数学课程资源的内容与范畴；隐性数学课程资源开发的策略与途径；隐性数学课程资源的课堂教学设计等．８ 数学课程的深层次国际比较这些年关于数学课程的国际比较研究的文献比较多，包括课程标准的比较与教材的比较．综观这些成果可以感觉到多数研究都是针对教学理念、教学目标、教学内容、知识体系、习题数量与难度等内容展开的，缺少深层面的解析．数学课程的国际比较应当作一些深层面的工作，如：不同国家数学课程设计的理论基础（教育理论基础、心理学理论基础、社会学理论基础、数学教育哲学基础）比较；不同国家数学教材设计的文化因素分析；不同国家数学教材设计的隐性课程资源分析等等．９ 数学教材编制的科学性数学教材编制的科学性，要以理论和实践两种途径作为检验标准．研究的问题有：知识展示逻辑顺序的合理性研究；知识展示的过程与结果如何处理；例题的选择与数量界定；习题的数量、质量的确定；不同学段教学内容的衔接等等．此外，需要研究数学教材编制与课程标准的一致性问题，这要研究一套评价工具．１０ 数学课程改革的实验研究数学课程改革的成功与否，是以教学实施效果为依据的．一方面要检验课程实施效果与课程标准的吻合程度；另一方面要验证课程实施的可行性问题，两方面的研究都需要进行实验研究．涉及的问题：课程实施过程中教师的教学观念、知识结构、教学模式的适应性；课程实施中学生的学习方式、课业负担、评价方式的适应性；有多少学生达到了课程标准规定的目标要求；课程实施中出现了哪些需要修订课程标准的问题等等．１１ 教学基本理论对数学教学影响教学理论在不断创新，从行为主义创立到现在的１００余年中，出现不同的教学理论几十种，应当梳理，这些教学理论对我国数学教学产生了什么样的影响；中国数学教学是受到儒家教学思想大还是受到西方教学思想的影响大．另一方面，建国以来我国数学教育是否形成了自己的理论．对这些问题需要做出深层次分析，对一些做法、经验加以提炼．１２ 合作学习的实证研究合作学习是以建构主义和情境认知理论为基础的，需要思考：合作学习是否适合数学学习；数学合作学习的前提条件是什么；数学合作学习人数应为多少才能使教学效果最佳；哪些内容利于合作学习哪些内容不利于合作学习；合作学习适合哪类学生学习．对于这些问题，应当结合实证而不是纯粹思辨的方法进行研究．１３ 有效教学的实证研究理论思考的问题：数学有效教学的标准是什么，数学有效教学的特殊性体现在哪里．实证研究的问题：同课异构的教学有效性比较；“讲学稿”教学模式的有效性；“翻转课堂”教学模式的有效性；练习效应与教学的有效性；变式教学的有效性；样例学习的教学有效性等等．１４ 教育技术与课堂教学整合与优化教育技术的产生源于行为主义，如何对这种理论基础进行改造是应当研究的问题．需要思考：利用教育技术进行教学设计的理论基础分析；教育技术在代数课堂教学中的应用与影响；教育技术在几何课堂教学中的应用与影响；教育技术在概率统计课堂教学中的应用与影响；教育技术在微积分课堂教学中的应用与影响［１５］等等．１５ 课堂观察维度与指标体系建构课堂观察是一种目前比较受追捧的研究方法，这是基于个案的实证研究．我们提出一个框架：从教师的数学观层面观察课堂及观察指标建构，从教学目的设计与实施层面观察课堂及观察指标建构，从教学内容的组织层面观察课堂及观察指标建构，从课程资源开发层面观察课堂及观察指标建构，从课堂操作层面观察课堂及观察指标建构，从教学效果层面观察课堂及观察指标建构．１６ 陈述性知识与程序性知识的教学策略设计与实验认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，这种知识的分类主要是为了研究知识的表征和知识习得的心理差异．因此，在教学层面就应当思考：陈述性知识的教学策略设计；程序性知识的教学策略设计；促进陈述性知识向程序性知识转化的教学策略．并且应当对这些设计进行验证性实验．１７ 概念图在数学教学中的应用概念图用于教学，国外的研究比较多，而且主要集中在科学（物理、化学、生物、地理）教学领域［１６］，在数学教学中的相关概念图应用研究很少，这是一个值得思考的问题，同时也是一个值得研究的问题．如概念图不同评价方式的比较［１７］；概念图作为评价工具在数学教学中的应用；概念图作为教学设计工具在教学中的应用；概念图作为学习工具在数学学习中的应用；使用概念图促进学生数学理解；使用概念图提高学生的解决问题能力；使用概念图促进学生的知识迁移等等．１８ 中国数学教学经验提升和理论总结国内出现了较多的数学教育实验，如自学辅导、尝试指导－效果回授、问题－情境、ＧＸ、ＭＭ等，依据这些实验产生若干教学模式．在教学一线，许多教师也创建了数量众多的数学教学模式，但是，这些模式的国际影响并未显现，主要是我们的理论提升不够，模式的理论高度不够，普适性也有待验证．如何从教学实践中归纳和总结经验，打造我国数学教育的基本理论并将其推向国外，是我们必须研究的问题．１９ 数学教学中的直观化与数学学习直观化与数学教学的关系研究是国外研究的一个热点［１５］．如下问题值得研究：直观化与问题解决：数学问题直观化程度的高低与问题解决成绩之间的相关性；空间问题复杂性程度对不同解题策略的选择的影响；问题的呈现方式（语言、阅读、图表）与学生解题策略选择之间的联系；样例的直观化对学习时间、认知负荷及解决迁移靶题成绩的影响．直观化与知识理解：教学中使用直观手段对不同年级学生知识理解的作用和差异；代数问题直观化对学生知识理解的作用；概率与统计问题直观化对学生知识理解的作用；如何使用教育技术进行体现直观性的有效教学设计．直观化与个体差异：不同学业水平学生在使用直观策略方面的差异；直观教学对不同学业水平学生学习的影响；男生与女生使用直观策略的差异；不同年龄阶段学生使用直观策略的差异；不同民族学生使用直观策略的差异．直观化与数学能力：直观化教学能够促进某些数学能力（逻辑思维能力、归纳思维能力、空间想象能力）的发展还是阻碍某些数学能力的发展；直观化教学与个体数学活动经验形成的内在联系；直观化教学与创新思维能力发展的内在联系．２０ 数学推理的心理研究推理的心理学研究主要集中在演绎推理方面［１８］，数学推理是数学学习的主要内容，但是关于数学推理的心理学研究太少．下面是一些尚待研究的内容：认知结构与数学推理的关系（完善的认知结构是否有助于数学推理，完善的认知结构是有助于演绎推理还是有助于类比推理）；陈述性知识与程序性知识对数学推理的影响（在陈述性知识和程序性知识中，哪一类知识对数学推理的影响更大），数学学习文本的不同展示方式对数学推理的影响（增强文本直观性对数学推理是否有促进作用，增加文本中的多余干扰信息是否会对数学推理产生不利影响）；数学演绎推理与归纳推理的关系（个体演绎推理与归纳推理的相关性，演绎推理的增长对归纳推理产生促进作用）；个体元认知水平对数学推理的影响（有高自我监控能力的学生是否就有高水平的推理能力，反思与推理之间是什么关系）；数学理解水平与推理水平的关系（理解水平是否与推理水平存在线性关系）；数学焦虑与数学推理的关系（数学焦虑在何种水平最利于数学推理）．中学生数学推理的发展研究（中学生数学推理发展的关键期，男女生数学推理的发展是同步性，数学推理能力发展与知识的增长的关系）；几何推理与代数推理的关系（几何推理的特征，代数推理的特征，几何推理与代数推理之间的关系）；推理教学与推理学习的关系（是否有必要专门讲授形式逻辑的相关知识，教师的推理能力对学生数学推理能力增长产生影响，在几何教学中采用什么样的教学设计最利于发展学生的推理能力）．２１ 数学学习与迁移关于数学学习的迁移，国内以莫雷教授团队做的工作最好［１９］．但更多的问题需在思考和研究．样例学习与迁移：样例变式形式、难度、信息不全、信息多余等对学习的不同影响；源题与靶题的相似程度、靶题的变异程度对问题解决有何影响；如何分解问题的子目标更利于学生学习；在样例中设计穿插了一系列反省问题，引发学习者自我解释，不同的反省问题是否会产生不同学习效果；多重样例的数量变化、形式变化对学习会产生的影响，什么呈现方式最利于学生学习；不同年级学生是否应当采用不同的样例呈现方式会更利于学习．迁移现象的多因素分析：其一．过去关于学习迁移的研究，几乎都是围绕学习材料等外部因素展开的，应当重点考虑学习者内部因素对迁移的影响．其二，迁移不可能局限于单一因素的影响，要研究多因素对迁移的影响，这方面需要做大量的工作．２２ 学生认识信念对数学学习的影响个体认识信念的研究主要有三种取向：个体认识论的发展研究、个体认识的信念系统研究和个体认识的元认知过程研究［２０］．关于学生认识信念的研究，应当围绕下面问题展开：认识信念的测量［２１］；认识信念与学习态度的关系；认识信念与学习自我效能感的关系；认识信念与学习动机的关系；认识信念与认知因素的关系，具体地说，认识信念影响哪些认知因素的发展；影响学生认识信念发展的因素分析．２３ 非认知因素对数学学习的影响以往的研究多是聚焦于单个非认知因素与学习的关系，采用的方法以测量为主，表现出研究方法的单一性．应当关注：非认识因素中几个要素的交互作用对数学学习的影响；非认知因素的课堂观察研究；学生非认知因素发展规律研究．２４ 学生数学认知水平的发展林崇德等做了系统的研究，包括对中小学生数学思维品质、归纳推理、演绎推理、概括能力、运算能力、空间能力的测量和实验研究，得到一些有意义的结论［２２］．但是，整个研究方法是建立在测量基础之上的，认知水平的划分有一定时代性局限．随着时代的进步，我们需要建立一套完整的量表，作出准确的认知水平划分，系统研究从学龄前儿童到高中毕业学生的数学认知发展水平，摸清学生数学认知发展的规律、认知发展的关键期与转折期．２５ 高级数学思维从过程概念向定义性概念的过渡，就是初级数学思维向高级数学思维的转变．高级数学思维有两个特征：概念有准确严谨的数学定义，建立在此基础上的定理的逻辑演绎［２３］．高级数学思维是国外学者提出的一个概念，对它的界定不是十分清晰．对这个问题的研究应当思考如下一些问题：高级数学思维的内涵是什么；高级数学思维的特征是什么，它是否只具备形式定义和演绎论证两个特征；是否常量数学对应的是初级数学思维，变量数学对应的是高级数学思维；学生高级数学思维的形成和发展有什么规律；从初级数学思维向高级数学思维转变，学生会出现什么思维障碍，如何消除这些障碍；高级数学思维是否存在不同的水平，如何界定这些水平；高级数学思维的心理机制是怎样的；测量高级数学思维的量表编制；高级数学思维的培养策略等等．２６ 学生学习心理的多因素之间关系研究以往的研究主要是讨论两个心理因素之间的关系，作为推广应当考虑：多种认知因素的交互作用对数学学习的影响；多种非认知因素的交互作用对数学学习的影响；认知因素与非认知因素的交互作用对数学学习的影响；认知因素之间的相互影响、认知因素与非认知因素之间的相互影响、非认知因素之间的相互影响等等问题．２７ 数学概念与命题认知的相关问题概念学习的研究问题：概念形成与概念同化的教学效果差异比较；概念域（系）［２４］形成的基本规律；概念理解的水平界定；概念应用的水平划分；概念学习对命题学习的影响；从逻辑思维角度分析概念理解的心理障碍；从概括水平角度分析概念理解的心理障碍；从归纳思维角度分析概念理解的心理障碍等等．命题学习的研究问题：下位学习与上位学习的命题教学效果差异比较；命题域（系）［２４］形成的基本规律；命题理解的水平界定；命题应用的水平划分；命题证明的学习心理分析；命题的变式应用；从逻辑思维角度分析命题应用的心理障碍；从概括水平角度分析命题应用的心理障碍；从归纳思维角度分析命题应用的心理障碍等等．２８ 数学解题认知的相关问题解决问题的心理研究：解决应用问题的心理表征；影响模式识别的外部条件分析；影响模式识别的心理因素分析；自我监控对解决问题其他心理因素的影响；个体ＣＰＦＳ结构对解决问题的影响；共通任务能力（数学阅读能力、数学概括能力、数学变换能力、逻辑思维能力、空间思维能力）对解决数学问题的影响．２９ 数学阅读的相关问题数学阅读研究的兴起较晚，许多东西还未搞清楚．需要研究：数学阅读能力与知识理解的关系；数学阅读与问题解决的关系；不同文本展示对数学阅读的理解；数学阅读水平的发展；影响数学阅读的心理因素分析；数学阅读能力与其他数学能力的关系研究．３０ 数学教师的知识结构教师的知识研究主要分为三个领域：教师知识的要素与结构，教师知识结构对教学的影响，教师知识结构的发展．虽然有了许多研究结果，但主要是国外学者研究的结论，在国内应当对其进行更深入地探讨，如数学教师知识的组成要素、知识结构的形态、知识结构的发展；专家型教师与新手教师的知识结构差异；教师知识结构中影响教学的主要因素分析；数学教师的知识结构与教学设计的关系；数学教师的知识结构与教师自我监控能力的关系；数学教师的知识结构与教师自我意识的关系；数学教师知识结构与教学效能感的关系等等．３１ 数学教师的ＰＣＫ（ＰＣＡ）关于教师学科教学知识（ＰＣＫ）的研究成为这几年学界讨论的热点，综观研究概况，可以看出这方面的议论性研究比较多，实证研究太少．教学ＰＣＫ的研究必须走进课堂，主要采用课堂观察的方法或实验干预方法来做，深入研究如下问题：数学教师的ＰＣＫ形成机制；从ＰＣＫ到学科教学能力（ＰＣＡ）［２５］的理论思考；ＰＣＡ的基本构成要素；数学教师ＰＣＡ的外部表现形式；数学教师ＰＣＡ（ＰＣＫ）对课堂教学的影响；数学教师ＰＣＡ（ＰＣＫ）对学生学习的影响等等．３２ 教师数学教学认识信念研究的问题：教师数学教学认识信念的结构分析［２６］；教师数学教学认识信念对教学行为的影响；教师数学教学认识信念对学生学习信念的影响；教师数学教学认识信念对课堂教学效果的影响；教师数学教学认识信念与教学风格的关系；教师数学教学认识信念与实现教学目标的偏差；教师数学教学认识信念与教学评价观的内在联系．３３ 数学教师培训这些年，在“国家级教学培养计划”的引领下，出现了不同层次的教师培养活动，于是也就出现许多值得研究的问题：调查不同层次教师培训的效果；不同层次、不同类型数学教师培训的模式探析；不同层次不同类型数学教师培训的有效策略；数学教师培训的内容分析；各地数学教师培训（培训目标、培训内容、培训方式、培训者的素质、培训条件、培训效果）的比较；国外教师培训对国内教师培训的启示等等．３４ 师范院校课程与教学改革中小学的课程改革持续推进，高等师范院校的课程则几十年一贯制，两者的不协调性已经变得十分突出．要思考师范院校的数学课程改革问题：与中小学课程改革相协调的师范院校课程体系建构；与中小学课程改革的师范院校教学模式创新；与中小学课程改革相适应的师范院校学生能力提升；与中小学课程改革相适应的师范院校教师观念转变等等．（下转第２３页）。
