实际问题与反比例函数

17．2 实际问题与反比例函数(三)

三维目标

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见．

2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

教学重点

掌握从物理问题中建构反比例函数模型．

教学难点

从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

教具准备

多媒体课件．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．

[例1]在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I ＝2安培．

(1)求I 与R 之间的函数关系式；

(2)当电流I ＝0.5时，求电阻R 的值．

设计意图：

运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力． 师生行为：

可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．

教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．

师：从题目中提供的信息看变量I 与R 之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I 与R 的一对对应值)得到字母系数k 的值．

生：(1)解：设I ＝k R

∵R ＝5，I ＝2，于是 2＝k 5 ，所以k ＝10，∴I ＝10R

． (2)当I ＝0.5时，R ＝10I ＝100.5

＝20(欧姆)． 师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?

生：这是古希腊科学家阿基米德的名言．

师：是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；

阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如下图)

下面我们就来看一例子．

二、讲授新课

活动2

[例3]小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．

(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?

(2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?

设计意图：

物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用．

师生行为：

先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．

教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系．

教师在此活动中应重点关注：

①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系； ②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；

③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣．

师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题．

生：解：(1)根据“杠杆定律”有

F ·l ＝1200×0.5．得F ＝600l 当l ＝1.5时，F ＝6001.5

＝400． 因此，撬动石头至少需要400牛顿的力．

(2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有

F l ＝600，

l ＝600F

． 当F ＝400×12

＝200时， l ＝600200

＝3． 3－1.5＝1.5(米)

因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．

生：也可用不等式来解，如下：

Fl ＝600，F ＝600l

．

而F ≤400×12

＝200时． 600l

≤200 l ≥3．

所以l －1.5≥3－1.5＝1.5．

即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米．

生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出．

师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：

用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?

生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l ，动力为F ，阻力×阻力臂＝k(常数且k ＞0)，所以根据“杠杆定理”得F l ＝k ，即F ＝k l

(k 为常数且k ＞0)

根据反比例函数的性质，当k ＞O 时，在第一象限F 随l 的增大而减小，即动力臂越长越省力． 师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用．

活动3

问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0．4)元成反比例．又当x ＝0．65元时，y ＝0.8．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?

设计意图：

在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题． 师生行为：

由学生先独立思考，然后小组内讨论完成．

教师应给予“学困生”以一定的帮助．

生：解：(1)∵y 与x －0．4成反比例，

∴设y ＝k x －0.4

(k ≠0)． 把x ＝0.65，y ＝0.8代入y ＝

k x －0.4 ，得 k 0.65－0.4

＝0.8． 解得k ＝0.2，

∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2

∴y 与x 之间的函数关系为y ＝15x －2

(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为

(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x －2 )＝0.3(1＋10.6×5－2

)＝0.3×2＝0.6(亿元) 答：本年度的纯收人为0.6亿元，

师生共析：

(1)由题目提供的信息知y 与(x －0.4)之间是反比例函数关系，把x －0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x ＝0.65时，y ＝0.8得出字母系数的值；