用放缩法证明不等式
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3
－b 3
＝a 2
－b 2
，求证143
＜＋＜
a b 。 证明：由题设得a 2
＋ab ＋b 2
＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2
＞a 2
＋ab ＋b 2
＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜
14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34
（a ＋b ）2
＜a ＋b ，所以a ＋b ＜
43，故有1＜a ＋b ＜43
。
例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：
a a
b b b b
c c c ac a a b c 22222232
++++++++++＞（）
证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222
2342
22++=+++=++（）＞（）≥，
同理b bc c b c 222
+++
＞，c ac a c a
222+++＞。
所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232
++++++++++＞（）
二. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12
＜＋＋＜a b c b a c c a b
+++。
证明：由于a 、b 、c 为正数，所以
a b c a a b c +++＞，b a c b a b c
+++＞，
c a b c
a b c
+++＞，
所
以
a b c b a c c a b
a a
b
c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则
a b c
+为真分数，则a b c a
a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，
c a b c
a b c
+++＜2，
故a b c b
a c c a b
a a
b
c b a b c c a b c +++++++++=＋＋
＜＋＋2222.
综合得12
＜＋＋＜a b c b a c c a b
+++。
三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n
131211＜…+
++
+
。
证明：因为
122
1
21n
n n
n n n n =
++-=--＜
（），则11213+
++
…＜（）（）…（）＜+
+-+-++--=-1122123221212n
n n n n
，证毕。
例
5. 已知
*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：
2
)1(2)1(2
+<
<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2
)
1n (n n 21a n +=
+++> ， 又2
)
1()1(+<
+n n n n ， 所以2
)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2
n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。
四. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数1
212)(+-=x x x f ，证明：对于*
N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。
证明：由题意知
)12)(1()
12(212211)111()1
221(112121)(+++-=
+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f ，
又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n
，又因为 1n 21n 2
)
1n (n n 1C C C C C )11(2n
n 1
n n
2n 1n 0n n n +>+++-+
+=+++++=+=- 所以1
)(+>
n n
n f 。
例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 证
明
：
f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+-+=
-+++=
+-+++111111222222
22
b a b
a b
a )
b a (b
a b a b a -=+-+<
+-+<
证毕。
五. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知c b a >>，求证
0a
c 1
c b 1b a 1>-+-+-。 证明：因为c b a >>，所以可设t c a +=，)0u t (u c b >>+=，所以0u t >-则
0tu u t t 1u 1t 1u 1u t 1a c 1c b 1b a 1>-=->-+-=-+-+-，即0a
c 1
c b 1b a 1>-+-+-。
例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当*N n ∈且3n ≥时，求证：n n n c b a <+。
证明：由于a b c 222+=，可设a=csina ，b=ccosa （a 为锐角），因为01<所以a b c a a c a a c n n n n n n n +=+<+=(sin cos )(sin cos )22。
六. 单调函数放缩
