勾股定理经典例题详解
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13 :③8、15、17 ;④7、24、25 :⑤10、24、26 ; ®9、40、41 .
类型二：勾股定理的构造应用
1 、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长.
2. 如图，已知：，，于P. 求证：
3. 已知：如图，/ B= Z D=90 ° ,Z A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四边形ABCD 的面积
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60 °方向走了到达B点，然
后再沿北偏西30 °方向走了500m 到达目的地 C 点。
（1 ）求A、 C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。
5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且Z QPN = 30。，点A处有一所中学，AP = 160m 假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学
校受影响的时间为多少秒？
（二）用勾股定理求最短问题
6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、 D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
7. 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm , BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
类型四：利用勾股定理作长为的线段
8、作长为、、‘的线段。
9、如果A ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，判断A ABC的形状
10. 四边形ABCD 中，/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形ABCD 的面积
11. 已知：△ ABC的三边分别为m2—n2 , 2mn ,m 2+n2（m,n为正整数，且m > n）,判断△ ABC是否为直角三角形•
1
12. 如图正方形ABCD，E为BC中点，
F为AB上一点，且BF - AB。请问
FE与DE是否垂直？4
请说明。
13、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE丄DF，若BE=12 , CF=5 .求线段EF的长。
14、如图所示，已知△ ABC中，/ C=90 ° ,Z A=60 °,，求、、的值
15. 如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm , BC=10cm，求EF的长。
16、矩形ABCD中，AB=6 , BC=8，先把它对折，折痕为F上的A1，求第二次折痕BG的长。
18. 如图Rt ABC ， C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
19.
如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是0.5米,
把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到D 点，并求水池的深度 AC.
20、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，（1 ）这个梯子的顶端距地面
17、在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm , AB=10cm 为EF ，求（1 ） DE 的长；（2 ） EF 的长。
按图所示方式折叠，使点 B 与点D 重合，折痕
有多高？（ 2）如果梯子的顶端下滑了
E 2
第18题
21、如图，一块直角三角形的纸片, 两直角边AC=6 cm, BC=8 cm。现将直角边AC沿直线AD折叠,
使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
22、如图所示，已知在ABC中，AB=AC , BAC= 90 , D是BC上任一点，求证:
BD 2 CD2 2AD2。
答案：
1. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
,，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长•
解析：作于D，则因，
•（的两个锐角互余）
•（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理，在中，
根据勾股定理，在中，
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用•当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
2. 思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形•因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形•所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
而在中，则根据勾股定理有
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又T （已知），
在中，根据勾股定理有
3. 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ,或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
vZ A= Z 60 ° ,Z B=90 ° ,A Z E=30 °。
••• AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,
••• BE 2=AE 2-AB 2=82-4 2=48 , BE==。
•/ DE 2= CE 2-CD 2=4 2-2 2=12，二DE==。
…S 四边形ABCD =S △ ABE -S △ CDE =AB • BE-CD • DE=
4. 思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：（1 ）过B点作BE//AD
/•Z DAB= Z ABE=60 °
••• 30 °+ Z CBA+ Z ABE=180 °
•••Z CBA=90 °
即厶ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m , AB=
由勾股定理可得：
所以厂广「+.'■■■!■ +…H …
