《测量学》第6章测量误差解析

5
m乙
62 52 0 12 12 3.5
5
6.3.2 相对误差
中误差的绝对值与其相应观测值之比。
K
m D
1 D
m
分别丈量了长度为100m和200m的两段距离，其中误差 分别都为±0.02m。则两段距离的相对误差分别为
K1
m1 D1
0.02 1 100 5000
K2
m2 D2
0.02 1 200 10000
➢ 用计算方法改正数。 ➢ 用一定观测方法加以消除。 ➢ 检验校正仪器，将系统误差限制在一定范围内。
6.2.3. 偶然误差
1. 什么是偶然误差（随机误差）
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果单个误差出现的 符号和大小均不一定，则这种误差称为偶然误差。
偶然误差反映观测结果的精密度，即相同观测条件下多次观测时观测 值之间的离散程度。
同精度观测和同精度观测值： 在相同的观测条件下进行的观测称为同精度观测，其
观测值就称为同精度观测值。
不同精度观测和不同精度观测值：
在不同的观测条件下进行的观测，其观测值称为不同 精度观测值。
2. 直接观测和间接观测
直接观测： 观测值就是未知量本身。
间接观测： 通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观
3. 测量误差的来源 测量仪器、观测者和外界条件的影响是测量误差的来源。
6.2 测量误差的种类
误差按性质可以分为：粗差、系统误差和偶然误差。
6.2.1 粗差
由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意等造成的错误。 粗差从数值来往往较大，观测过程要杜绝粗差，一但发 生要将其剔除。
6.2.2 系统误差
1. 系统误差的定义
n
中误差的含义
概率密度曲
例1：甲乙两组，各自在同精度条件下，对某一三角形 内角测量了5次，求得三角形闭合差Δi列于下表，试问哪一 组观测值精度高。
误差 Δ1
Δ2
Δ3
Δ4
Δ5
甲组 +4″ -2″ 0″
-4″ +3″
乙组 +6″ -5″ 0″
+1″ -1″
m甲
42 22 0 42 32 3.0
测称为间接观测。
3. 独立观测和非独立观测
独立观测： 各观测值之间无任何依存关系，是相互独立的观测。
非独立观测：
各观测值之间存在一定的几何或物理条件的约束，称 为非独立观测。
6.1.3. 测量误差及来源
1. 真误差 真误差＝观测值－真值
2. 测量误差的反映 测量误差是通过“多余观测”的差异反映出来的。
误差区间
正误差
负误差
合计
（3″） 个数（v）相对个数 v 个数（v）相对个数 v 个数（v） 相对个数 v
n
n
n
0～3
30
0.138
29
0.134
59
0.272
3～6
21
0.097
20
0.092
41
0.189
6～9
15
0.069
18
0.083
33
0.152
9～12
14
0.065
16
0.073
30
0.138
6.4 误差传播定律
某些量不能直接观测，而可以由另外一些直接观测量根 据一定的函数关系计算出来。
Z f x1, x2, , xn
z
dz
z x1
1
z x2
2
z xn
n
或写成：
z f x1 1 f x2 2 f xn n
设对各独立量xi进行了k次观测，则各次观测未知量Z的真误差Δzi为：
2. 偶然误差性质
① 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限度——有界性；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大— —密集性；
③ 绝对值相等的正误差与负误差，其出现的可能性相 等——对称性；
④ 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近 于零——抵偿性。
lim ＝0
n n
不能用相对误差来衡量测角精度。
6.3.3 极限误差
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定限值，这个限值就是极限误差。
2
2
f d
1 e22 d 0.954
2
2 2
3
3
f d
1 e22 d 0.997
3
3 2
容 2 2 m
－2 －
0 ＋ +2
或： 容 3 3 m
第六章 测量误差及数据处理 的基本知识
6.1 测量误差概述
6.1.1 观测与观测值
观测：使用用一定的仪器、工具和采取一定方法对某 量进行量测。
观测值：观测获得的数据。
6.1.2 观测与观测值的分类
1. 同精度观测和不同精度观测（等精度观测和不 等精度观测）
观测条件：构成测量工作的要素，即观测者、测量仪器和外 界条件统称为观测条件。
中误差
对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1、 l2、……、ln，相应的真误差为Δ1、Δ2、……Δn,中误差为
D lim
n n
h 1
2
σ英文读音同sigma
其中：i li X i 1, 2, , n
[]
12
2 2
2 n
中误差的估值
ˆ []
n
中误差的估值常用m表示，即：m ˆ []
1z
f x1
11
f x2
12
f xn
1n
2z
f x1
21
f x2
22
f xn
2n
……
kz
f x1
k1
f x2
k2
f xn
kn
k次观测，则各次观测的真误差Δzi的平方和为：
k
j 1
jz
2
f x1
2
k j 1
1j
2
f x2
2
k j 1
j 2
2
f xn
2
k j 1
j n
2
2
f x1
12～15
12
0.055
10
0.046
22
0.101
15～18
8
0.037
8
0.037
16
0.074
18～21
5
0.023
6
0.028
11
0.051
21～24
2
0.009
2
0.009
4
0.018
24～27
1
0.005
0
0
1
0.005
27以上
0
0
0
0
0
0
合计
108
0.498
109
0.502
217
1.000
1 2 n
3. 偶然误差统计直方图
k n • d
k n
－27 －21 －16 －9 －3 －24 －18 －12 －6
0
＋3
＋9 ＋15 ＋21 ＋27 ＋6 ＋12 ＋18 ＋24
－
0 ＋
4. 偶然误差概率密度曲线
y h eh22
或
y
1百度文库
e
2
2 2
2
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6.3 衡量精度的指标
6.3.1 中误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误 差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化。
2. 系统误差的性质
系统误差具有积累性，对一个未知量多次观测其系统误差 会累积。
系统误差会造成观测结果偏离真值，反映观测结果的准确 度。准确度指观测结果相对真值的偏离程度或接近程度。
2. 如何降低系统误差的影响