数值计算方法教案5-1
第5章多项式逼近与曲线拟合
教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼
近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。
教学重点及难点重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。难点是会求非线性模型的逼近函数。
教学时数6学时
教学过程
§1 引言
在科学计算中有下述两类逼近问题。
1．关于数学函数的逼近问题
由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如x
,
)
(=
=等在有限
(
x
f
e
x
f x sin
)
区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。这种函数逼近的特点是：
（a）要求是高精度逼近；
（b）要快速计算（计算量越小越好）。
2．建立实验数据的数学模型
给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。 例如，已知)(x f y =实验数据
m
m y y y x f x x x x Λ
Λ21
21)
(
希望建立)(x f y =数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是：
（a ）适度的精度是需要的； （b ）实验数据有小的误差；
（c ）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。
事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数)(x f y =的问题，例如
（1）用在0
x x =点Taylor 多项式逼近函数
设)(x f y =在[a,b]上各阶导数)
1,,1,0)(()
(+=n i x f i Λ存在且连续，],[0
b a x ∈，则有
)
()(!
)
())((')()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+=Λ
)
()(x R x P n n +≡
其中
ε
ε],,[,
)()!
1()
()(10)1(b a x x x n f x R n n ∈-+=++在0
x 和x 之间。
于是，可用n x P n
)((次多项式）来逼近)(x f ，即
]
,[),()(b a x x P x f n ∈≈
且误差为：)()()(x P x f x R n
n
-=
且当n
n M x f
≤+)()
1(时，则有误差估计
b
x a x x n M x R n n
n ≤≤-+≤
+,)!
1()(1
显然有：⎩
⎨
⎧===)
,,2,1(),()()
()(0
)(0
)
(0
n k x P x f x P x f k n
k n
Λ 说明)(x P n
是利用在0
x x =处)(x f 函数值及各阶导数值来摸拟)(x f 的性质，且当x 越接近于0
x ，误差就越小，
x 越偏离0x ，
误差就越大。由此，在[a,b]上要提高)(x P n
逼近)(x f 的精度，就要提高)(x P n
的次数，这就使得计算量增大。
（2）用插值多项式逼近函数
设已知),,1,0()),(,(n i x f x i
i
Λ=则存在唯一n 次插值多项式)(x P n
使
)
,,1,0(),()(n i x f x P i i n Λ==
其中],[),,1,0(b a n i x i
∈=Λ且互不相同，于是)(x P n
可作为)(x f 近似函数，即
]
,[),()(b a x x P x f n ∈≈
插值多项式逼近)(x f 也是利用1+n 个点上)(x f 的函数值来模似)(x f 的性质，在1+n 个节点i
x 上)(x P n
逼近)(x f 无误差，当i
x x ≠时，)(),()(x P x P x f n
n
≈逼近)(x f ，也可能使误差|)()(||)(|x P x f x R n
n
-=较大。如果实际问题要求：ε<-|)()(|x P x f n
对],[b a x ∈（其中ε
是给定精度要求），用插值多项式)(x P n
去逼近)(x f 就可能失败。
例1 设]1,1[,)(-∈=x e x f x
，试考查用4次Taylor 多项式)(4
x P 逼近)(x f 的误差。
解 用在0=x 展开的4次Taylor 多项式逼
近)(x f ；
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-∈⋅==-=++++=]
1,1[,1201)(!5)()(24161211)(55
44324x e x x x P e x R x x x x x P n x ξξ
其中ξ在x 和0之间。 于是有误差估计：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≤≤≤≤-0226
.0120|)(|max ||1201|)(|41
15
4e x R e x x R x
且有
