18、直角三角形
要点一：勾股定理及其逆定理
一、选择题
1．（2009·达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三
角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【解析】 选C ∵正方形A 和正方形B 的边长分别为3、5，所以与正方形E 相邻的直角三形的一直角边的平方为34，又因为正方形C 和正方形D 的边分别为2、3，所以正方形E 相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为13，所以正方形E 的面积为47.
2、（2009·滨州中考）如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8， 则
边BC 的长为（ ）
A ．21
B ．15
C ．6
D ．以上答案都不对
答案：选A
二、填空题
3、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可)
【解析】只要是勾股数即可。
4、(2009·湖州中考)如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
【解析】因为222AB BC AC =+,而1S =4AC 212⨯⨯π,2S =4BC 212
⨯⨯π, 所以1S +2S =4AC 212⨯⨯π+4BC 212⨯⨯π=）（22BC AC 4
21+⨯π =;2164
21AB 4212πππ=⨯⨯=⨯ 5.（2009·长沙中考）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若
5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．
【解析】由AB AC =，AD 是底边上的高得BD=CD=3cm,由勾股定理得
cm AD 43522=-=
答案：4
6.（2009·安顺中考）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt △ABC 中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
【解析】如图，,6,1351222==+=BE BD
∴风车的外围周长=4×(13+6)=76
答案：76
7、（2009·宜宾中考）已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若
斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
A
B
C E
F H
第12题图
答案：29． 8、（2008·台州中考）如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为
a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，则c = （用含有a b ，的代数式表示）．
答案：22a b +
9、（2007·徐州中考）如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，现将△ABC
进行折叠，使顶点A 、B 重合，则折痕DE=_______cm ．
答案：158
三、解答题
10、（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的
长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长．
M
【解析】2BD CD ==，222222BC ∴=+=
设AB x ∴=，则2AC x =，222(22)(2)x x ∴+=
263x ∴=，4263AC AB ==
11、（2009·白银中考）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，
D 为AB 边上一点，求证：
（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．
证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠， ∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠．
即 ACE BCD ∠=∠．
∵ EC DC AC BC ==,，
∴ △ACE ≌△BCD ．
（2）∵ ACB ∆是等腰直角三角形，
∴ ︒=∠=∠45BAC B ．
∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ︒=∠=∠45CAE B ．
∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ．
∴ 222DE AE AD =+．
由（1）知AE ＝DB ，
∴ 222AD DB DE ．
12、（2009·新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是
a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
【解析】方法一解：（1）如图
（2）证明：大正方形的面积表示为2
()a b +,大正方形的面积也可表示为 2142c ab +⨯,221()42
a b c ab ∴+=+⨯，22222a b ab c ab ++=+， 222a b c ∴+=．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：（1）如图
（2）证明：大正方形的面积表示为：2
c ， 又可以表示为：214()2
ab b a ⨯+-, 2214()2
c ab b a ∴=⨯+-，22222c ab b ab a =+-+， 222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
13、（2007·聊城中考）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线． 试证明90ACE ∠=；
（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
【解析】（1）这个公式为222
()2a b a ab b +=++．
（2）ABC CDE ∵△≌△，BAC DCE ∠=∠∴． 90ACB DCE ACB BAC ∠+∠=∠+∠=∴°．
由于B C D ，，共线，
所以180()ACE ACB DCE ∠=-∠+∠°1809090=-=°°°．
