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函数与导数相结合压轴题精选（二）
11、已知)0()(2
3
>+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M >
证明：由题设有),)((323)(212
x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <，
则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a
1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值，
)()()()()(212
221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-Θ
])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-=
)]3(92)[(]3232)32()[(2
2121ac b a
x x c a
b
b a
c a a b a x x --
-=+-⋅+⋅--⋅-=
由方程0232
=++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2
2>-=-=∆ac b ac b
又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3
)(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ；
（2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常
数），试比较n n a a 与1+的大小；
（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+<
c
a c
a n n 对一切N n ∈恒成立？
（1）设))(()()(,102
2212
1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则
由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x
)3,0(,2
22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则
}3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分）
（注：法2：)1,0(,03)(2
∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）.
（2）当a =3时，由题意：)1,0(,2
3
21131∈=+-
=+b a a a a n n n 且
以下用数学归纳法证明：*
∈∈N n a n 对),1,0(恒成立.
①当n=1时，)1,0(1∈=b a 成立；
②假设n =k 时，)1,0(∈k a 成立，那么当1+=k n 时，
k k k a a a 232131+-=+，由①知)3(2
1
)(3x x x g +-=
在（0，1）上单调递增，10)
1()()0(1<<<<∴+k k a g a g g 即，
由①②知对一切*
∈N n 都有)1,0(∈n a （7分）
而0)1(2
12121231>-=+-
=-+n n n n n n a a a a a a n n a a >∴+1 （9分） （3）若存在正实数c ，使20<-+<
c
a c
a n n 恒成立 （10分
令),(,21+∞-+=-+=
c c
x c
c x c x y 在上是减函数， n n n a c
a c
a 随着-+∴
增大，而小， 又}{n a 为递增数列，所以要使20<-+<
c
a c
a n n 恒成立，
只须3
0,302011
11b
c a c c a c
a c a <<<
<∴⎪⎩⎪
⎨⎧<-+>-即 （14分） 13、已知)(2
2)(2R x x a
x x f ∈+-=
在区间[－1，1]上是增函数. （1）求实数a 的值所组成的集合A. （2）设关于x 的方程x
x f 1
)(=
的两根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求出m 的取值
范围；若不存在，请说明理由
（1）2
22)
2()
2(2)(+---='x ax x x f ]1,1[)(-在x f Θ是是增函数 ]1,1[,0)(-∈≥'∴x x f 对恒成立.
设110
)1(0
)1(,2)(2
≤≤-⇔⎩⎨
⎧≤-≤--=a ax x x ϕϕϕ则有
)(],1,1[x f x -∈对Θ是连续函数，且只有当0)1(,1=-'=f a 时，
以及当}11|{,0)1(,1≤≤-=∴='-=a a A f a 时 （2）由
02,1222
2
=--=+-ax x x
x a x 得 212,,08x x a ∴>+=∆Θ是方程022=--ax x 的两实根.
⎩⎨⎧-==+∴2
2121
x x a
x x 从而84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x 38||1
1221≤+=-∴≤≤-a x x a Θ
要使不等式||1212
x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立， 当且仅当]1,1[312
-∈≥++t tm m 对任意恒成立， 即022
≥-+tm m 对任意]1,1[-∈t 恒成立. 设22)(2
2
-+=-+=m mt tm m t g
则有2202)1(02)1(2
2
-≤≥∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+=≥--=-m m m m g m m g 或
∴存在m ，其范围为}22|{-≤≥m m m 或
14、已知二次函数y=g(x )的图象过原点和点（m ，0）与点（m+1, m+1），
（1）求y=g(x )的表达式；
（2）设)(x f =(x －n)g(x )(m>n>0)且)(x f 在x =a 和x =b(b ②若m+n=22，则过原点且与曲线y=)(x f 相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？ （文科生做．．．． ）设常数a >0, a ≠1，函数5 5 log )(+-=x x x f a ， （1）讨论)(x f 在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x )=1+log a (x －3),如果)(x f =g(x )有实数根，求a 的取值范围. （理科生做．．．． ）解：（1）设g(x )=ax 2+b x +c(a ≠0)，由题意得
