数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=,
2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到1cm )? 【答案】
【解析】
过A 作AF CD ⊥于F ,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值,又可证四边形ABCE 为平行四边形,故有EC=AB=25cm ,再再根据DC=DE+EC 进行解答即可.
2.如图,抛物线C 1:y=(x+m )2(m 为常数,m >0),平移抛物线y=﹣x 2,使其顶点D 在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上,得到抛物线C 2.抛物线C 2交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),交y 轴于点C ,设点D 的横坐标为a .
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°=•=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,
其坐标为:P 1(
﹣m ,1),P 2(﹣m ,﹣3),P 3(﹣﹣m ,3),P 4(3﹣m ,
3).
【考点】二次函数综合题.
3.如图,矩形OABC 中,A(6,0)、C(0,2
3)、D(0,33),射线l 过点D 且与x 轴平行,点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点,满足∠PQO =60º.
(1)点B 的坐标是 ,∠CAO = º,当点Q 与点A 重合时,点P 的坐标 为 ;
(2)设点P 的横坐标为x ,△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ,试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.
【答案】(1)(6,3). 30.(3,3)(2)
))))243x 430x 33
313333x 5S {23x 1235x 93
543x 9+≤≤+<≤=-+<≤> 【解析】
解:(1)(6,3 30.(3,3
(2)当0≤x≤3时,
如图1,