平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向

5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向

（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段

比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。

③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：

AB ；

7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：

长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。

A(起点)

B

（终点）

a

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？

解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。

（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量

（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

B

A

O

D E

F

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例3.如右图所示，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，

分别写出图中与向量

→

→→OC OB OA ,,相等的向量。

解：按照向量相等的定义可知：

→→→==DO CB OA OB DC EO ==→→→ OC AB ED FO ===→→→→

向量的加法运算及其几何意义

１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”） 3.三角形法则的来由

如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋

ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=

，规定：a + 0-= 0 + a

4.向量加法的字母公式：AB BC AC =→→→

+ 5.平行四边形法则

A

B

C

a +b

a +b

a

a

b

b

a

ｂ

b a+b

a

图1

如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

6.平行四边形法则与三角形法则的区别：

（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点

和两个分向量的起点是同一起点。

（2）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向

量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

7.一般结论

当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);

当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;

当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a 的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.

一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.

二．例题讲解

例1、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（）

A．0 B．3 C．2 D．22.

解： D C

A

作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：

a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=22,所以选D.

例2.化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.