全国2008年7月自考线性代数(经管类)试题及答案

2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。

2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、4。

4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。

2007-2008学年第二学期期末试卷-A 卷线性代数B课程号： 11020063B 课序号： 01-13 开课系： 数学与数量经济学院一、填空题（每小题3分，共15分）1．6427811694143211111= 12 。

2．设 A 为3阶可逆矩阵，1=A ，则=-*1)(A 1 。

3. 设321,,ααα线性无关,则321211,,αααααα+++线性____无 ___关。

4. 设A 为4阶方阵，且()3=A r ，则齐次线性方程组*0A X =（*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关向量的个数为 3 。

5．设T T T ===),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321t ααα，若向量组321,,ααα线性相关，则=t 5 。

二、单项选择题(每小题2分，共10分)1．非齐次线性方程组AX B =中未知量的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ， 则 B 。

（A ）r = m 时，方程组AX B =有解（B ）r = n 时，方程组AX B =有唯一解（C ）m = n 时，方程组AX B =有唯一解（D ）r 〈 n 时，方程组AX B =有无穷多解2．设A 为n 阶矩阵，且0A =，则A 的列向量中C 。

（A ）必有两个向量对应分量成比例（B ）必有一个向量为零向量（C ）必有一个向量是其余向量的线性组合（D ）任一向量是其余向量的线性组合3．设A 为n 阶单位矩阵，则矩阵A 的特征值为 B。

（A ）0λ= （B ）1λ= （C ）2λ= （D ）3λ=4．下面结论不正确的是C 。

（A ）相似矩阵有相同的特征值（B ）相似矩阵有相同的行列式（C ）相似矩阵的秩一定不相同（D ）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的5．123(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2)ααα==-=-，则向量组1α，2α，3α是A。

（A ） 线性无关 （B ）线性相关（C ）1α可以由2α，3α线性表示 （D ）3α可以由1α，2α线性表示三（10分）计算下列n 阶行列式 ab b b a b bb a D n==1[(1)]()n a n b a b -+-- 四（10分）解矩阵方程 A 2X AX =+，其中A = 3 0 1 1 1 00 1 4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 5 -2 -2 4 -3 -2 -2 2 3X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五（10分） 已知向量组()5,4,3,11-=α，()9,7,2,22-=α，()12,9,3,33=α试求这个向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15B ．-6C ．6D ．152．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d ba 04=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32c b a ，则（ C ） A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==dc b a D ．3,0,3,1===-=d c b aA ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5A D ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则=*||A （ B ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4s 21A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示7．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2，1η,2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --29．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵)(A 必有一个特征值等于（ A ） A ．1B ．1C ．2D ．4 10．二次型43432143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．411．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43，P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛10，则=TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47． 13．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎝111110，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎝-001011．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332t ，若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113α的秩为2，则数t =__-2__．16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =3．17．设向量b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量，则数b =__0__． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭ ⎝---222222的2重特征值，则A 的另一特征值为__4__．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x xx x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎝--510122． 20．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ．解：22000210011101111220021001110111131101210111011114001030100211111-=----=----=------=． 22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103，（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001，1-A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111122112； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α，)1,1,1,1(--=β，求（1）矩阵βαT A =；（2）2A ．解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1； （2）2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α，T )2,1,3,0(2=α，T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000110131→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001101301， 向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1）求当a 为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ． （1）3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时，方程组有解；（2）3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．26．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，（1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量； （2）判定A 是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1． 解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ． 对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1． 四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．。

08年7月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设随机事件A 与B 互不相容，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)|(A B P （ A ） A ．0 B ．0.2 C ．0.4 D ．1A ．0.1B ．0.4C ．0.9D ．1A ．)()()(B P A P B A P += B ．)()(1)(B P A P B A P -=C ．)()()(B P AP B A P =D ．1)(=B A PA ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.1045．已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤=3131321021)(x x x x F ，则==}1{X P （ A ）A ．61B ．21C ．32 D ．16．已知X ，Y 的联合概率分布为),(y x F 为其联合分布函数，则=⎪⎭⎫⎝⎛31,0F （ D ）A ．0B ．1 C ．1 D ．1 7．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其它0,0),()(y x e y x f y x ，则=≥}{Y X P （ B ）A ．1 B ．1 C ．2 D ．3A ． 1-B ．0C ．1D ．2n 21切比雪夫不等式为（ B ） A ．22}|{|εσεμnn X P ≥<-B ．221}|{|εσεμn X P -≥<-C ．221}|{|σεμn X P -≤≥-D ．22}|{|σεμn X P ≤≥-10．设总体X ～),(2σμN ，2σ未知，X 为样本均值，∑=-=i i nX X n S 122)(1，∑=--=ni i X X n S 122)(11，检验假设00:μμ=H 时采用的统计量是（ C ） A ．nX Z /0σμ-=B ．nS X T n /0μ-=C ．nS X T /0μ-=D ．nX T /0σμ-=11．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________________．______________．则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为________________．16．设随机变量),(Y X 的联合分布为则=α________________．17．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧=其他),(y x f ，则X 的边缘概率密度=)(x f________________．所围成的三角形区域，则),(Y X 的概率密度=),(y x f ________________．19．设X ～)1,0(N ，Y ～⎪⎭⎫⎝⎛21,16B ，且两随机变量相互独立，则=+)2(Y X D________________．20．设随机变量X ～)1,0(U ，用切比雪夫不等式估计≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-31|21|X P ________________．21．设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，则∑⎪⎫⎛-ni X μ～________（标出参数）． 量为5的简单随机样本，则λ的矩估计值为________________．23．由来自正态总体X ～)9.0,(μN 、容量为9的简单随机样本，得样本均值为5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________．（96.1025.0=u ，645.105.0=u ）24．设总体X 服从正态分布),(1σμN ，总体Y 服从正态分布),(2σμN ，n X X X ,,,21 和m Y Y Y ,,,21 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(1122m n Y Y X X E n i m i i i ________________．i i xx xy 则y 对x 的线性回归方程为________________．26．某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？ 解：记=i A {取到第i 个厂的产品}，3,2,1=i ，=B {取到合格品}，则所求概率为 （1）)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=100818.0100156.0100259.010060=⨯+⨯+⨯=； （2）1961008111.010060)()|()()|(111=-⨯==B P A B P A P B A P ． 27．设随机变量X 只取非负整数值，其概率为1)1(}{++==k ka a k X P ，其中12-=a ，试求)(X E 及)(X D ．解：记a ax +=1，则212-=x ，112122}{---===k k x x x k X P ， ,2,1,0=k ， 2)1(1112001=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞+=∞+=-x x x kx k k k k ， 2)1(1120010012=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∞+=∞+=-∞+=∞+=-x x x x x kx x kx x k k k k k k k k k ， 122212212)(01-=⋅-=-=∑+∞=-k k kx X E ，122212212)(0122-=⋅-=-=∑+∞=-k k x k X E ， 22)12(12)()()(222-=-+-=-=X E X E X D ． 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28．甲在上班路上所需的时间（单位：分）X ～)100,50(N ．已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）甲迟到的概率；（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率．（0.8413Φ(1)=，0.9750Φ(1.96)=，0.9938Φ(2.5)=）解：（1）所求概率为1587.08413.01)1(11050601}60{=-=Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>X P ；（2）用Y 表示五天中迟到的次数，则Y ～)1587.0,5(B ，所求概率为1675.0)8413.0()1587.0()8413.0()1587.0(}1{}0{}1{41155005≈+==+==≤C C Y P Y P Y P ．29．2008年北京奥运会即将召开，某射击队有甲、乙两个射手，他们的射击技术由下表给出．其中X 表示甲射击环数，Y 表示乙射击环数，试讨论派遣哪个射手参赛比较合理？解：94.0102.094.08)(=⨯+⨯+⨯=X E ，91.0108.091.08)(=⨯+⨯+⨯=Y E ，8.814.0102.094.08)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ，2.811.0108.091.08)(222=⨯+⨯+⨯=Y E ， 8.098.81)()()(222=-=-=X E X E X D ，2.092.81)()()(222=-=-=Y E Y E Y D ．)()(Y E X E =，)()(Y D X D >，派遣射手乙参赛比较合理．五、应用题（本大题共1小题，10分）30．设某商场的日营业额为X 万元，已知在正常情况下X 服从正态分布)2.0,864.3(N ，十一黄金周的前五天营业额分别为：4.28、4.40、4.42、4.35、4.37（万元）．假设标准差不变，问十一黄金周是否显著增加了商场的营业额．（取01.0=α，32.201.0=u ，58.2005.0=u ） 解：864.3:0≤μH ，864.3:1>μH ．选用统计量nx u /00σμ-=．已知864.30=μ，2.02=σ，5=n ，01.0=α，32.201.0==u u α，算得364.4=x ，ασμu nx u =>=-=-=32.25.25/2.0864.3364.4/00，拒绝0H 而接受1H ，即认为营业额显著增加了．本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。

自考线性代数试题库及答案一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，这三个向量是否线性相关？A. 是B. 不是答案：A3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，若|A| = 0，则A是：A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵答案：B二、填空题4. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，若B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]，则A至少包含____个非零行。

答案：三5. 对于任意的n阶方阵A，Tr(A)表示A的______。

答案：迹三、解答题6. 已知矩阵A = [2, -1; 1, 3]，求A的逆矩阵A^(-1)。

答案：首先计算A的行列式，|A| = (2 * 3) - (-1 * 1) = 7。

然后计算A的伴随矩阵，即adj(A) = [(3, 1); (-1, 2)]。

最后，A^(-1) = (1/|A|) * adj(A) = [(3/7), (1/7); (-1/7), (2/7)]。

7. 设向量空间V中的向量v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)。

证明v1, v2, v3线性无关。

答案：要证明v1, v2, v3线性无关，我们需要证明对于任意的实数a, b, c，只要a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0，那么a = b = c = 0。

设a * v1 + b * v2 + c * v3 = (a + b, b + c, a + c) = (0, 0, 0)，由此可得a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。

通过简单的代数运算，可以得出a = b = c = 0，因此v1, v2, v3线性无关。

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为3阶方阵，且3131=-A ，则=||A （ A ） A ．-9B ．-3C ．-1D ．93131=-A ，31||313=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A ，9||-=A ． 2．设A 、B 为n 阶方阵，满足22B A =，则必有（ D ）A ．B A = B ．B A -=C ．||||B A =D ．22||||B A =3．已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101，则=-BA AB （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1201B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000=-BA AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1201． 4．设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛10115．设向量),,(),,,(22221111c b a c b a ==αα，),,,(),,,,(2222211111d c b a d c b a ==ββ，下列命题中正确的是（ B ）A ．若21,αα线性相关，则必有21,ββ线性相关B ．若21,αα线性无关，则必有21,ββ线性无关C ．若21,ββ线性相关，则必有21,αα线性无关D ．若21,ββ线性无关，则必有21,αα线性相关6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132,121是齐次线性方程组Ax =0的两个解，则矩阵A 可为（ A ）A ．)1,3,5(--B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112135C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--712321D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----135221121)1,3,5(--0121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，)1,3,5(--0132=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 7．设m ×n 矩阵A 的秩r (A )=n -3（n >3），γβα,,是齐次线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ D ） A ．βαβα+,, B ．βγγβ-,, C ．αγγββα---,,D ．γβαβαα+++,,其中只有γβαβαα+++,,线性无关．8．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则=2A （ C ）A ．AB ．DC ．ED ．E -存在P ，使D AP P =-1，1-=PDP A ，E PP PEP P PD A ====---11122． 9．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，则A 的特征值为（ D ）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1)1()1()1)(1(11)1(0101010||22+-=--=---=---=-λλλλλλλλλλλA E ．10．设A 为n （2≥n ）阶矩阵，且E A =2，则必有（ C ） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于nD ．A 的特征值均为11||2=A ，0||≠A ，A 的秩等于n ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式011103212=-a ，则数a =__3__．0)3(3323111103203111103212=-=-=--=-a a a a ，3=a ．12．设方程组⎩⎨⎧=+=+02022121kx x x x 有非零解，则数k = __4__．04221=-=k k，4=k ．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则=B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----19119753333． =B A T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--311012⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛753240=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----19119753333． 14．已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4212,0510,2001321t ααα的秩为2，则数t =__3__．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000300110201000250110201402250110201t t t ，秩为2，则3=t ．15．设向量)1,21,1,2(-=α，则α的长度为__5/2__．16．设向量组)3,2,1(1=α，)6,5,4(2=α，)3,3,3(3=α与向量组321,,βββ等价，则向量组321,,βββ的秩为__2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000630321630630321333654321，秩为2． 17．已知3阶矩阵A 的3个特征值为3,2,1，则=*||A __36__．=*||A 36)321(||||221=⨯⨯==-A A n ．18．设3阶实对称矩阵A 的特征值为0,3321===λλλ，则r (A )= __2__．A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030003，r (A )=2．19．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型f =32312123222128432x x x x x x x x x -++++．20．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1002，则二次型Ax x T 的规范形是2221y y -． 222122212y y x x Ax x T -=+-=，其中21x y =，122x y =． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算行列式D =5021011321014321---的值．解：9325310027*********1216413000122215021011321014321------=------=-----=---24)1527(293532-=--=-----=．22．已知A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1102，C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1013，矩阵X 满足AXB =C ，求解X ．解：=),(E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10012141→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11016041→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110360123→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11216003→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6/16/13/23/16001，=-1A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6/16/13/23/1；=)(E B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10011102→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20012202→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21012002→⎪⎪⎭⎫⎝⎛12/102/11001，=-1B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛12/102/1．==--11CB A X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6/16/13/23/1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1013⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/102/1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1142121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1013⎪⎪⎭⎫⎝⎛2101 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2101=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛04/111． 23．求向量T )2,1,3(-=β在基T )2,1,1(1=α，T )1,3,1(2-=α，T )1,1,1(3=α下的坐标，并将β用此基线性表示．解：设332211αααβx x x ++=，即T T T T x x x )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3(321+-+=-，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=+-22133321321321x x x x x x x x x ，=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211211313111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----413040403111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----413010103111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110010103111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110010103111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110010102011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110010101001， 11=x ，12-=x ，13=x ．β在基321,,ααα下的坐标是)1,1,1(-，321αααβ+-=．24．设向量组321,,ααα线性无关，令311ααβ+-=，32222ααβ-=，3213352αααβ+-=，试确定向量组321,,βββ的线性相关性．解：设0332211=++βββk k k ，即0)352()22()(3213322311=+-+-++-αααααααk k k ，0)32()52()2(3321232131=+-+-++-αααk k k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+-032052023213231k k k k k k k ，05252321520520321520201=--=---=---，有非零解，321,,βββ线性相关．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321λλλλx x x x x x x x x ，（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311211211λλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3311001102112λλλλλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----)1(3)2)(1(000110211λλλλλλ． （1）2-=λ时无解，2-≠λ且1≠λ时惟一解，1=λ时有无穷多个解． （2）1=λ时，→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000002111，⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ．26．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111，求正交矩阵P 和对角矩阵Λ，使Λ=-AP P 1．解：111111111)3(113113113111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E )3(0101001)3(2-=-=λλλλλ，特征值021==λλ，33=λ．对于021==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，正交化：令=1β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=12/12/101121101||),(1211222βββααβ，单位化：令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/101121||1111ββη，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6/26/16/112/12/162||1222ββη； 对于33=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-000330112330330112422242112211121112A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000110101000110202000110112，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113α，单位化：令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3/13/13/111131||1333ααη．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300000000，则P 是正交矩阵，使Λ=-AP P 1．四、证明题（本题6分）27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，r ξξξ,,,21 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明r ξξξη,,,,21 线性无关． 证：设02211=++++r r k k k k ξξξη ，则0)(2211=++++r r k k k k A ξξξη ，02211=++++r r A k A k A k kA ξξξη ，000021=++++r k k k kb ，0=kb ，由0≠b ，得0=k ---------------------------------（1）从而02211=+++r r k k k ξξξ ，由r ξξξ,,,21 线性无关，得021====r k k k --------------（2）由（1）（2）可知r ξξξη,,,,21 线性无关．。

全国高等教育 线性代数（经管类） 自学考试 历年（2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A4.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T5.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则( ) A.A 为可逆阵B.齐次方程组Ax =0有非零解C.齐次方程组Ax =0只有零解D.非齐次方程组Ax =b 必有解7.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ) A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则( )A.k>0B.k ≥0C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

自考本线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 0; 0, 1]C. [2, 3; 4, 5]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设A为n阶方阵，若存在常数k使得A^2 = kA，则称A为幂等矩阵。

若A是幂等矩阵且|A|≠0，则k的值是：A. 0B. 1C. -1D. n答案：B3. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. tr(A) = tr(A^T)D. A + A^T 总是对称矩阵答案：C4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B可交换。

若A和B可交换，且|A|=5，|B|=3，则|AB|的值是：A. 15B. 5C. 3D. 无法确定答案：A5. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本假设？A. 向量加法满足交换律B. 向量加法满足结合律C. 标量乘法对向量加法满足分配律D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 设向量α=(1, 2, 3)^T，β=(-4, 5, -6)^T，向量α和β的点积α·β等于______。

答案：-37. 若矩阵A的特征值为2，则矩阵2A的特征值为______。

答案：48. 设矩阵B可以表示为B=P^(-1)AP，其中P是可逆矩阵，那么B和A 是______相似的。

答案：相似9. 对于任意矩阵A，tr(A)表示矩阵A的______。

答案：迹（或特征值之和）10. 设A是一个3×3的矩阵，且A^3 = A，则A的一个特征值可以是______。

答案：1三、解答题（共75分）11. （15分）证明任意n阶方阵A，|A^T| = |A|。

证明：设A是一个n阶方阵，其行列式为|A|。

根据行列式的性质，我们知道行列式与行（列）的置换有关。

对于矩阵A的转置矩阵A^T，它的行（列）与A的列（行）相对应。

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A为3阶方阵且，则｜一2A｜= ( )A．一4B．4CC．一1D．1正确答案：A解析：答案为A2．若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件( )A．A≠0B．A=0C．｜A｜=0D．｜A｜≠0正确答案：D解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。

3．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关B．A的任意一个m阶子式不等于零C．若矩阵B满足BA=0，则B=0D．A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式正确答案：D解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。

4．若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为( )A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1，α2，α3的任意三个线性组合C．α1，α1一α2，α1一α2一α3D．α1，2α1,3α1正确答案：C解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。

5．设则A的属于特征值O的特征向量是( ) A．(1，1，2)TB．(1，2，3)TC．(1，0，1)TD．(1，1，1)T正确答案：B解析：用定义Ax=λx来判断，这时λ=0，故计算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的属于特征值0的特征向量．当x=(1，2，3)T时，有Ax=0．答案为B。

自考线性代数章节测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 向量组 {v1, v2, v3} 线性无关的充分必要条件是：A. v1 ≠ 0B. v2 ≠ 0C. v1, v2 不共线D. v1, v2, v3 构成某向量空间的一个基答案：D3. 对于n维向量空间V，下列说法正确的是：A. V中任意两个向量都线性无关B. V中存在一组基，包含n个向量C. V中所有向量都可以用一组基表示D. 以上所有说法都正确答案：D4. 如果A和B是两个m×n矩阵，那么AB的行列式等于：A. |A| * |B|B. |B| * |A|C. |A| + |B|D. 不能直接计算答案：D5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的特征矩阵？A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. 存在非零向量v，使得Av=λv的λ构成的对角矩阵答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指________。

答案：矩阵中最大线性无关组所含向量个数7. 对于任意矩阵A，其迹数（Trace）定义为其主对角线上元素的________。

答案：和8. 线性变换T: R^n → R^m的表示矩阵是________。

答案：T作用在标准基向量上得到的向量构成的矩阵9. 二次型f(x) = x^TAx的规范型是________。

答案：f(y) = y1^2 + y2^2 + ... + yk^210. 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是________。

答案：R(A) = R([A; b])三、解答题（共75分）11. （15分）设A是一个3×3的实对称矩阵，证明A可以表示为A = QDQ^T，其中Q是正交矩阵，D是实对角矩阵。

答案：略（需要详细解答的请告知）12. （20分）给定两个向量v = [1, 2, 3]^T和u = [4, 5, 6]^T，求向量v在向量u上的投影。