艺术班数学基础专题训练(10)(基础+练习+习题+复习)三角函数
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【一专三练】专题02 三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)在ABC V 中,内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,已知cos sin a B A =.(1)求B ;(2)若a =3c =,求b 的值.2.(2023·江苏·统考一模)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()1sin 23tan 2cos 2A B A +=+.(1)若3π4C =,求tan B 的值;(2)若A B =,2c =,求ABC V 的面积.3.(2023·辽宁葫芦岛·统考一模)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .()()()sin sin sin A B A B A C -=+-+,角A 的角平分线交BC 于点D ,且3b =,6c =.(1)求角A 的大小;(2)求线段AD 的长.4.(2023·安徽安庆·统考二模)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin tan2A b C a ⋅=.(1)若角π6B =,求角A 的大小;(2)若4a =,1cos 28A =,求b .5.(2023·安徽合肥·校考一模)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其面积为S ,且(c ﹣a )(c +a )+ab cos C .(1)求角A 的大小;(2)若4cos B •cos C =1,且a =S 的值.6.(2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测)已知锐角三角形ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,)cos c a b C C +=+.(1)求B ;(2)若2a =,求c 的取值范围.7.(2023·山东·烟台二中校联考模拟预测)已知平面四边形ABCD 中,AB CD ∥,BC =,2BAD BCD ∠=∠.(1)求ABC ∠;(2)若4CD =,ABD ADB ∠=∠,求四边形ABCD 的面积.在BCD △中,由正弦定理可得sin 因为AB CD ∥,所以ABD ∠=∠8.(2023·安徽滁州·校考一模)在ABC V 中,222.b c a +=(1)求cos A 的值;(2)若2B A =,b =,求a9.(2023·山东菏泽·统考一模)如图,在平面四边形ABCD 中,(0π),1ABC AB BC CD ∠θθ=<<===,AC CD ⊥.(1)试用θ表示BD 的长;(2)求22AC BD +的最大值.10.(2023·江苏·统考一模)在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()2sin cos c b A A =-.(1)若sin 10sin B C =,求sin A 的值;(2)在下列条件中选择一个,判断ABC V 是否存在,如果存在,求b 的最小值;如果不存在,说明理由.①ABC V 的面积1S +;②bc=③222+=a b c.11.(2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测)如图,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB =6,AC =BC =D 在边BC 上,且∠ADC =60°.(1)求cos B 与△ABC 的面积;(2)求线段AD 的长.12.(2023·湖南株洲·统考一模)如图,在平面四边形ABCD 中,90,60,4DAB DCB ABC AB AD ∠∠∠===== .(1)求cos DBC ∠的值;(2)求AC 的长度.13.(2023·湖南永州·统考二模)已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且向量()2,m b a c =- 与向量()cos ,cos n A C =共线.(1)求C ;(2)若c ABC =V a b +的值.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin sin cos tan C B B A=+(1)求A ;(2)若cos cos A C a c +,求ABC V 外接圆的半径R .15.(2023·江苏泰州·泰州中学校考一模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()sin sin bC A B a=--.(1)求A ;(2)设2a =,当b 的值最大时,求△ABC 的面积.16.(2023·广东东莞·校考模拟预测)已知函数()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程;(2)ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥时,()()g x af x b =+的最大值为7,最小值为1,求a ,b 的值.∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,∵sin y x =的对称轴为直线ππ+2=x k ,k ∈Z ,∴由ππ2π62x k -=+,k ∈Z ,解得ππ23k x =+,k ∈Z ,∴()f x 的对称轴方程为ππ23k x =+,k ∈Z .(2)πsi 2()(n 6)x b g x af x b a =+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∵ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴ππ2[,23x ∈-,∴π2ππ2[,636x -∈-,∴π1sin(2)[1,62x -∈-,当0a >时,()()g x af x b =+的最大值为12a b +,最小值为a b -+,∴由1721a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩,解得45a b =⎧⎨=⎩,当a<0时,()()g x af x b =+的最大值为a b -+,最小值为12a b +,∴由7112a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得43a b =-⎧⎨=⎩,综上所述,4a =,5b =或4a =-,3b =.17.(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)在平面四边形ABCD 中,π3ABD ∠=,4AB =,AD =AC 与BD 交于点E ,且2AE EC =,DE EB =.(1)求BD 的长;(2)求cos ADC ∠的值.18.(2023·安徽淮北·统考一模)设ABC V 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin c C b BC A a a-=-,4b =.(1)求角B 的大小(2)若c =ABC V 的面积.19.(2023·山东济南·一模)已知函数22()cos sin cos f x x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间;(2)ABC V 中内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()2,3,2f A b c ===,求A 的内角平分线AD 的长.20.(2023·辽宁阜新·校考模拟预测)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若4cos()2cos 23B C A ++=-.(1)求角A 的大小;(2)若a b c =+=△ABC 的面积.21.(2023·山西临汾·统考一模)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()cos 1cos a B b A =+.(1)证明:2A B =;(2)若2,c b a ==ABC V 的面积.22.(2023·浙江·校联考模拟预测)如图,在ABC V 中,D 为边BC 上一点,3DC =,5AD =,7AC =,DACABC ∠=∠.(1)求ADC ∠的大小;(2)求ABC V 的面积.23.(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模)已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-,其中0ω>,且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2,(1)求ω的值及函数()f x 的对称轴方程;(2)在ABC V 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若()1,f A a =-=ABC V 周长的取值范围.24.(2023·安徽蚌埠·统考二模)已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b =,ac <,且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求A 的大小;(2)若sin sin a A c C B +=,求ABC V 的面积.25.(2023·安徽合肥·统考一模)已知ABC V 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且222220b c a +-=.(1)若1tan 3C =,求A 的大小;(2)当A C -取得最大值时,试判断ABC V 的形状.26.(2023·湖南·模拟预测)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B 的大小;(2)若b 5a c +=,求△ABC 的面积.27.(2023·江苏南通·统考模拟预测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =4,且1cos 2b Cc a +=.(1)求B ;(2)若D 在AC 上,且BD ⊥AC ,求BD 的最大值.28.(2023·湖南张家界·统考二模)记ABC V 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()()sin sin sin sin a B C b B C c C +=-+.(1)求A ;(2)若a =,求ABC V 的面积的最大值.29.(2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测)在ABCV中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,π3B=.(1)若b a ca a b-=+,判断ABCV的形状;(2)求1tan tanA C+的最大值.30.(2023·山东聊城·统考一模)在四边形ABCD 中,//AB CD .(1)证明:sin sin AD BAD BC BCD ⋅∠=⋅∠;(2)若1AD =,3AB =,BC =,2BAD BCD ∠=∠,求BCD △外接圆的面积.【答案】(1)证明见解析(2)7π【分析】(1)由平行关系得到角的数量关系,在两个三角形中分别使用正弦定理,在根据数量关系进行传递.(2)根据已知的数量关系对未知角的大小进行求解,再在BCD △使用余弦定理对未知边的大小进行求解,最后在BCD △中使用正弦定理得到外接圆半径.【详解】(1)因为//AB CD ,所以ABD BDC ∠=∠,在ABD △中,由正弦定理可知。
艺术类考生数学复习单元训练卷(6) 平面向量与三角函数第一部分 选择题(共50分) 一.选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的。
) 1、下列函数中,最小正周期为2π的是() A .)32sin(π-=x y B .)32tan(π-=x y C .)62cos(π+=x y D .)64tan(π+=x y 2、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位,得到)4sin(ϕ+=x y 的图象,则ϕ等于( ) A .12π-B .3π-C .3π D .12π 3、)23sin(2x y -=π单调增区间为( )A .]125,12[ππππ+-k kB .]1211,125[ππππ++k k C .]6,3[ππππ+-k k D .Z k k k ∈++其中]32,6[ππππ4、函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程( )A .2π-=xB .4π-=xC .8π=xD .=x π45 5、在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若(2,4)AB =,(1,3)AC =,则BD =( ) A . (-2,-4) B .(-3,-5) C .(3,5)D .(2,4)6、已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),a b λ+与a 垂直,则λ是( )A. -1B. 1C. -2D. 27、已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =,则顶点D 的坐标为( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),8、在ABC ∆中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB AC ⋅= ( )A .23-B .32-C .32D .239、已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量a 满足0)()(=-⋅-c b c a,则c 的最大值是(A )1 (B )2 (C )2 (D )2210、已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π,则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是( ) A .32λ=-或32λ= B .12λ=-或12λ= C .1λ=-或1λ= D .λ为任意实数二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11、设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 12、关于平面向量,,a b c .有下列三个命题:①若a ·b =a ·c ,则=b c .②若(1)(26)k ==-,,,a b ,∥a b ,则3k =-.③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60. 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)13、若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +→b |=14、如图,在平行四边形ABCD 中,()()1,2,3,2AC BD ==-, 则AD AC ⋅= .[来源:学科网ZXXK]三、解答题:本大题共3小题,共30分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省滁州市第二中学2014届高三艺术班数学复习 函数一、映射与函数:(1)映射的概念: B A ,是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的 一个元素,在集合B 中都有 的元素与它对应;记作: ;(2)一一映射:B A ,是两个集合,B A f →:是集合A 到集合B 的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的 ;在集合B 中有 ;而且B 中 ;(3)函数的概念:如果B A ,都是 ,那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数,记作 ;如:若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =;问:A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个;A 到B 的函数有 个,若}3,2,1{=A ,则A 到B 的一一映射有 个。
函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 个。
二、函数的三要素: , , 。
相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法:①定义法(拼凑):如:已知221)1(xx x x f +=+,求:)(x f ; ②换元法:如:已知34)13(+=+x x f ,求)(x f ;③待定系数法:如:已知x x f f f 21)]}([{+=,求一次函数)(x f ; ④赋值法:如:已知)0(1)1()(2≠+=-x x xf x f ,求)(x f ;(2)函数定义域的求法:①)()(x g x f y =,则 ; ②)()(*2N n x f y n ∈=则 ; ③0)]([x f y =,则 ; ④如:)(log )(x g y x f =,则 ;⑤含参问题的定义域要分类讨论;如:已知函数)(x f y =的定义域是]1,0[,求)()()(a x f a x f x -++=ϕ的定义域。
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。
如:已知扇形的周长为20,半径为r ,扇形面积为S ,则==)(r f S ;定义域为 。
专题4三角函数测试题命题报告:高频考点:三角函数求值和化简、三角函数的图像和性质,三角函数恒等变换以及解三角形等。
考情分析:本单元再全国卷所占分值约15分左右,如果在客观题出现,一般三题左右,如果出现值解答题中,一般一题,难度不大重点推荐:第22题,是否存在问题,有一定难度。
21题数学文化题。
一.选择题1.若角600°的终边上有一点(﹣1,a),则a的值是()A.B.C.2 D.﹣2【答案】:B【解析】角600°的终边上有一点(﹣1,a),∴tan600°=tan(540°+60°)=tan60°==,∴a=﹣.故选:B2.(2018•贵阳二模)已知sin(π﹣α)=﹣,且α∈(﹣),则tan(2π﹣α)=()A.B.C.D.【答案】:B3.(2018•安徽二模)θ为第三象限角,,则sinθ﹣cosθ=()A.B.C.D.【答案】:B【解析】∵θ为第三象限角, =,∴tanθ==2,再根据sin2θ+cos2θ=1,sinθ<0,cosθ<0,∴sinθ=﹣,cosθ=﹣,∴sinθ﹣cosθ=﹣,故选:B.4.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,则φ可以是()A.B.C.D.【答案】:B【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后,可得y=sin(2x﹣+φ).∵图象关于原点对称,∴φ﹣=kπ,k∈Z可得:φ=.当k=0时,可得φ=.故选:B.5.(2018•桂林三模)关于函数f(x)=2cos2+sinx(x∈[0,π]),则f(x)的最大值与最小值之差为()A.3 B.2 C.0 D.﹣2【答案】:A【解析】f(x)=2cos2+sinx=cosx+sinx+1=,∵x∈[0,π],∴x+∈[,],可得sin(x+)∈[﹣,1],∴函数f(x)∈[0,3],则f(x)的最大值与最小值之差为3.故选:A.不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?【分析】△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,由正弦定理得=⇒AP=50.△QAB中,∠ABQ=90°,∴AQ=100,∠PAQ=75°-45°=30°,由余弦定理得PQ2=(50)2+(100)2-2×50×100cos30°=5000,∴PQ==50.因此,P,Q两棵树之间的距离为50 m,A,P两棵树之间的距离为50 m.18.(2018秋•重庆期中)已知函数f(x)=2cos2x+sin(2x﹣).(Ⅰ)求f(x)的最大值;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(A)=f(B)且A≠B,a=1,c=,求b.【解析】:(Ⅰ) f ( x)=cos 2x+1+sin 2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x+1=sin(2x+)+1∴当sin(2x+)=时,可得f ( x)的最大值为 2;(Ⅱ) f ( A)=f (B)⇒sin(2A+)=sin(2B+),且 A≠B,∴2A++2B=π,即 A+B=,那么:C=π﹣A﹣B=,余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,即13=1+b2+b,∴b=3.19.函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x.(1)请把函数f(x)的表达式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的形式,并求f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在x∈[,]时的值域.【解析】:(1)函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x=1﹣cos()cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin (2x﹣)+1,∴f(x)的最小正周期T=.(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x﹣)+1∵x∈[,],∴2x﹣∈[,]∴≤sin(2x﹣)≤1,则2≤f(x)≤3故得函数f(x)在x∈[,]时的值域为[2,3].20.(2018春•金华期末)已知函数的最大值为3.(1)求a的值及f(x)的单调递减区间;(2)若,,求cosα的值.【解析】:(1)====.当时,f(x)max=2﹣1+a=3,∴a=2.由,k∈Z.得到,k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z;(2)∵,,∴,又,∴,∴,∴==.21.已知函数,(ω>0).(Ⅰ)求函数f(x)的值域;(Ⅱ)若方程f(x)=﹣1在(0,π)上只有三个实数根,求实数ω的取值范围.【思路分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的值域求得函数f(x)的值域.(Ⅱ)求出方程f(x)=﹣1在(0,π)上从小到大的4个实数根,再根据只有三个实数根,求出实数ω的取值范围.【解析】:(Ⅰ)函数=sinωx+2cos(﹣)sin(﹣)=sinωx+2cos(﹣)sin(﹣)=sinωx+sin(ωx﹣)=sinωx﹣cosωx=2sin (ωx﹣),故函数f(x)的值域为[﹣2,2].(Ⅱ)若方程f(x)=﹣1,即sin(ωx﹣)=﹣,∴ωx﹣=2kπ﹣,或ωx﹣=2kπ﹣,k∈Z.即x=,或 x=,(0,π)上,由小到大的四个正解依次为:x=,或x=,或x=,或x=,∵方程f(x)=﹣1在(0,π)上只有三个实数根,∴,解得<ω≤.22.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+co sωx)﹣(ω>0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)当x∈[﹣π,π]时,求f(x)最大值与最小值及相应的x的值;(Ⅲ)是否存在锐角α,β,使a+2β=,f()•f(2)=同时成立?若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.【思路分析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式f(x)=sin(2ωx﹣),利用正弦函数的周期公式可求ω的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(x﹣),由﹣π≤x≤π,可求范围﹣≤﹣≤,根据正弦函数的图象和性质即可计算得解.(Ⅲ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求tan2β=,结合范围β为锐角,0<2β<π,可得β=,α=﹣2β=,即可得解.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(x﹣),由﹣π≤x≤π,得:﹣≤﹣≤,∴﹣1≤sin(x﹣)≤,∴f(x)min=﹣,此时x﹣=﹣,解得x=﹣;f(x)min=,此时x﹣=,解得x=π.………………………(7分)(Ⅲ)存在,理由如下:存在,理由如下:∵f(α+)=sin,f(2β+)=sin(β+)=cosβ,∴f(α+)•f(2β+)=sin cosβ=,∴sin cosβ=,………………………(9分)又a+2β=,a=﹣2β,∴sin cosβ=sin(﹣β)cosβ=,∴(cosβ﹣sinβ)cosβ=,∴cos2β﹣sinβcosβ=,∴×﹣sin2β=,即:cos2β﹣sin2β=0,∴tan2β=,又β为锐角,0<2β<π,∴2β=,β=,从而α=﹣2β=.………………………(12分)。
基础知识专题训练08一.考试要求二.基础知识1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫角,按顺时针方向旋转所形成的角叫角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个角。
射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角任何象限。
3. 终边相同的角的表示:(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔.(3)α终边在x轴上的角可表示为:(4)α终边在y轴上的角可表示为:(5)α终边在坐标轴上的角可表示为:α的终边关系:4、α与2由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角,则2α是第_____象限角 5.弧长公式:=l ,扇形面积公式:=s , 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么=αsin ,=αcos ,=αtan , (0)y ≠。
注:三角函数值与角的大小 关,与终边上点P 的位置 关。
7. 同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系: (2)倒数关系: (3)商数关系: 8、三角函数诱导公式(2kπα+)的本质是:奇 偶 (对k 而言,指k 取奇数或偶数),符 号 (看原函数,同时可把α看成是锐角). 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<; (2)转化为锐角三角函数。
三.基础训练1.下列各命题正确的是( )A .终边相同的角一定相等B .第一象限的角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D.小于090的角都是锐角2.02120sin 等于( )A 23±B 23C 23-D 213.o-300化为弧度等于( )A.4π-3B.7π-4C.5π-3D.7π-64.若cos 0,sin 0,θθθ><且则角的终边所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象5. 设0a <,角α的终边经过点()3,4P a a -,那么sin 2cos αα+的值等于.A 25 .B 25- .C 15 .D 15-6如果A 为锐角,1sin(),cos()2A A ππ+=--=那么( )A B .-.2D .2- 7. sin(-103π)的值等于( ) A .21 B .-21C .23D .-238.点oo(sin600,cos300)在第几象限?A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限9.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能10.y =|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x x x++的值域是( ) A .{1,-1} B . {-1,1,3} C . {-1,3} D .{1,3} 11.cos(210)-____________ 12.已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______.13..如果51cos =x ,且x 是第四象限角,那么=+)2cos(πx . 14.若4sin ,tan 05θθ=->,则cos θ= .15.若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+,则α的取值范围是_______.16.已知21tan =α,则=-+ααααsin cos cos sin 17.已知α是第三象限角,则3α是第 象限角18.(2001全国文,1)tan300°+0405sin 405cos 的值是19. 扇形的圆心角是72︒,半径为20cm, 则扇形的面积为 20.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于。
锐角三角函数基础训练卷一、选择题1.(2022秋•平桂区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则sin B 的值为()A.512B.513C.125D.12132.(2021秋•遵化市期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,sin A 的值为()A.45B.35C.34D.533.(2022•南安市模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则下列等式正确的是()A.sin A=35B.cos A=35C.tan A=35D.cos A=45 4.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于sin A的是()A.CDACB.BDCBC.CBABD.CDCB5.(2021秋•新田县期末)在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大为原来的3倍,则锐角∠A的余弦值()A.扩大为原来的3倍B.没有变化C.缩小为原来的13D.不能确定6.(2022秋•罗湖区校级月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin A的值是()A.45B.35C.43D.547.(2021秋•新邵县期末)下列说法中正确的是()A.sin45°+cos45°=1B.若α为锐角,则sinα=cos(90°﹣α)C.对于锐角β,必有tan β2=tanβ2D.若α为锐角,则sinα>cosα8.(2022秋•高新区校级月考)三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是()A.sin30°<cos16°<cos43°B.cos43°<sin30°<cos16°C.sin30°<cos43°<cos16°D.sin16°<cos30°<cos43°9.(2022秋•惠山区校级期中)已知∠A为锐角,且tan A=3,则∠A的取值范围是()A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C.45°<∠A<60°D.60°<∠A<90°10.如果锐角A的度数是25°,那么下列结论中正确的是()A.0<sin A<12B.0<cos A<√32C.√33<tan A<1D.1<cot A<√311.(2022秋•诸城市校级月考)已知α是锐角,且tanα=√2,那么下列各式中正确的是()A.60°<α<90°B.45°<α<60°C.30°<α<45°D.0°<α<30°12.(2021秋•正定县期末)在Rt△ABC中,∠B=90°,cos A=1213,则sin A=()A.513B.125C.1213D.51213.(2021秋•永春县期末)下列选项正确的是()A.sin31°+cos31°<1B.sin31°+cos31°>2C.sin31°+cos31°=1D.sin31°+cos31°>1 14.(2021秋•邵东市期末)在△ABC中,∠C=90°,已知tan A=34,则cos A=()A.35B.45C.34D.4315.(2021秋•金安区校级期末)若∠A为锐角,且sin A=√32,则cos A等于()A.1B.√32C.√22D.1216.(2021秋•门头沟区期末)在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则sin A的值是()A.23B.13C.2√55D.√5517.(2022•宣州区校级一模)下列计算错误的个数是()①sin60°﹣sin30°=sin30°;②sin245°+cos245°=1;③(tan60°)2=13;④tan30°=cos30°sin30°.A.1B.2C.3D.4 18.(2022秋•张店区期中)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=2√55,则tan B的值等于()A.√55B.2C.√5D.1219.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=1213,则tan B的值为()A.513B.135C.125D.51220.(2022秋•芝罘区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,下列等式成立的是()A.sin A=sin B B.cos A=cos B C.sin A=cos B D.tan A=tan B 21.(2022秋•桂平市期中)已知α为锐角且tan(90°﹣α)=1,则α的值是()A.30°B.45°C.60°D.75°22.(2021秋•东湖区校级期末)若sin(70°﹣α)=cos50°,则α的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°23.(2022秋•襄都区期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则sin B =()A.12B.2C.√55D.√524.(2022秋•平桂区期末)tan45°的值等于()A.√33B.√3C.1D.1225.(2022秋•香坊区校级月考)若tan B=√3,则∠B的度数为()A.30°B.60°C.45°D.15°26.(2021秋•新城区期末)tan30°的相反数是()A.−√3B.−√32C.−√33D.−√22 27.(2021秋•攸县期末)在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且有|tan B−√3|+(2cos A ﹣1)2=0,则△ABC是()A.直角(不等腰)三角形B.等边三角形C.等腰(不等边)三角形D.等腰直角三角形28.(2022秋•牟平区期中)计算4cos230°的值()A.3B.1C.32D.√329.(2022•河西区二模)2tan30°的值等于()A.√3B.2√33C.√22D.12二、填空题30.(2021秋•岑溪市期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=5,sin B=45,则AC=.31.(2021秋•青浦区期末)在△ABC中,∠C=90°,如果tan∠A=2,AC=3,那么BC=.32.(2021秋•龙泉市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上异于A,B的一点,AC≠BC.(1)若D为AB中点,且CD=2,则AB=.(2)当CD=12AB时,∠A=α,要使点D必为AB的中点,则α的取值范围是.33.(2022•嘉兴二模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC:BC=1:2,则sin B的值为.34.(2022•顺德区一模)比较大小:sin60°tan30°(用“>”或“<”填空).35.(2021秋•平远县期末)比较大小:tan50°tan60°.36.(2021秋•宽城县期末)比较大小:当0<α<45°时,sinαcosα.37.(2022秋•靖江市校级月考)如果∠α是锐角,且cosα=13,那么sinα的值是.38.(2022•海曙区校级开学)已知∠A是锐角tan A=√32,则sin A=.39.(2022•鲤城区校级开学)若α为锐角,且sin2α+cos226°=1,则α=°.40.(2021秋•肥西县期末)比较大小:sin48°cos48°(填“>”、“<”或“=”).41.(2022•兴宁区校级模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,且tan A=3,则cos B 的值为.42.(2021秋•周村区期末)已知∠A+∠B=90°,若sinA=35,则cos B=.43.(2021秋•成武县期末)在△ABC中,∠C=90°,tan B=13,则cos A等于.44.(2021秋•怀宁县期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=13,则sin B=.45.(2022秋•门头沟区期末)如果tanα=1,那么锐角α=度.46.(2022秋•船营区校级期末)已知α是锐角,tan(90°−α)−√3=0,则α=°.47.(2022秋•平桂区期末)在△ABC中,sin B=12,则∠B的大小是.48.(2022秋•南关区校级期末)计算:cos45°sin45°−tan45°=.三、解答题49.(2022•湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.50.(2022秋•金华期末)计算:(1)sin 230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos 230°;(2)√8−2sin45°+2cos60°+|1−√2|+(12)−1.51.(2021秋•富平县期末)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AB =4,sin B =√74. (1)求BC ; (2)求sin A .52.(2020•丛台区校级一模)嘉琪在某次作业中得到如下结果:sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945,sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018,sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873,sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000,sin 245°+sin 245°=(√22)2+(√22)2=1. 据此,嘉琪猜想:在Rt △ABC 中,∠C =90°,设∠A =α,有sin 2α+sin 2(90°﹣α)=1.(1)当α=30°时,验证sin 2α+sin 2(90°﹣α)=1是否成立. (2)请你对嘉琪的猜想进行证明.53.(2021秋•舒城县期末)计算:cos 230°+sin 245°﹣tan60°•tan30°。
《2016艺体生文化课-百日突围系列》专题7 三角函数同角三角函数的基本关系﹑诱导公式【背一背基础知识】1. 掌握同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=. 2. 诱导公式诱导公式一:sin(2)sin k απα+=,cos(2)cos k απα+=,tan(2)tan k απα+=,其中k Z ∈诱导公式二: sin(180)α+=sin α-; cos(180)cos αα+=-,tan(180)tan αα+= 诱导公式三: sin()sin αα-=-; cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-诱导公式四:sin(180)sin αα-=; cos(180)cos αα-=-,tan(180)tan αα-=- 诱导公式五:sin(360)sin αα-=-; cos(360)cos αα-=,tan(360)tan αα-=- 诱导公式六:sin(90)cos αα-=; cos(90)sin αα-=,tan(90)cot αα-= 诱导公式七:sin(90)cos αα+=; cos(90)sin αα+=-,tan(90)tan αα+=-记忆方法:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”,要把角化成形式为90k α⋅±(k 为常整数);奇变偶不变是指:当k 为偶数时,三角函数名称不变,即前面若是正弦,后面也是正弦,名称不变,当k 为偶数时,三角函数名称变,即前面若是正弦,后面也是余弦,名称变;符号看象限是指:把α看成锐角时,为第几象限角,由原三角函数在各象限符号决定正负号,具体一二象限正弦为正,一四象限余弦为正,一三象限正切为正,其它为负. 【讲一讲基本技能】 1.必备技能:(1)同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等,应用 “弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的cos α,得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
专题10 解三角形1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A −b sin B =4c sin C ,cos A =14-,则bc= A .6 B .5 C .4D .3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=,由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=,故选A . 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.先利用余弦定理推论得出a ,b ,c 关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.2.【2019年高考北京卷文数】如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB ∠是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A .4β+4cos βB .4β+4sin βC .2β+2cos βD .2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ,如图1,连接OA ,OB ,AB ,OP ,则22AOB APB ∠=∠=β,所以22242OABS ⨯==扇形ββ,因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形,且AOB OAB S S △扇形,都已确定, 所以当ABP S △最大时,阴影部分面积最大.观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时(如图2),阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP =∠AOP =π−β,面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin (π−β)+12|OP ||OA |sin (π−β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β,故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力,有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态,并将面积用边角等表示.3.【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =A .2πB .3π C .4πD .6π【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△,所以2222sinC a b c ab +-=, 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=,得sin cos C C =,因为()0,πC ∈,所以π4C =, 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类:一是边角关系的转化,考生需对所给的边角关系进行恒等变形;二是有几何背景的题型,难点在于涉及两个或两个以上的三角形,解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解,同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4.【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中,cos25C =,1BC =,5AC =,则AB =A . BCD .【答案】A【解析】因为cos2C =,所以cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是,在△ABC 中,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32,所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理,考查考生的运算求解力,考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点,将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起,既体现了试题设计的亮点,又体现了对所学知识的交汇考查.5.【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c ,则C =A .π12 B .π6 C .π4D .π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=,即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=,所以3π4A =.由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =,即1sin 2C =, 因为c <a ,所以C<A , 所以π6C =,故选B . 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.6.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理,得sin sin sin cos 0B A A B +=.(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ,sin 0,A ∴≠ ∴sin cos 0B B +=,即tan 1B =-,3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取定理法,利用转化与化归思想解题.本题容易忽视三角形内角的范围致误,三角形内角均在(0,π)范围内,化边为角,结合三角函数的恒等变化求角.7.【2019年高考浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =___________,cos ABD ∠=___________.【答案】5,10【解析】如图,在ABD △中,由正弦定理有:sin sin AB BD ADB BAC =∠∠,而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ,34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==,所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理,建立方程,进而得解.解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征.8.【2018年高考北京卷文数】若ABC △)222a c b +-,且∠C 为钝角,则∠B =_________;ca的取值范围是_________. 【答案】60︒,()2,+∞【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=Q △,2222a c b ac +-∴=,即cos B =,sin πcos 3B B B ∴=∠=,则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+, C ∠Q 为钝角,ππ,036B A ∠=∴<∠<,)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭,故()2,ca∈+∞.故答案为60︒,()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用,能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键;根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件,结合诱导公式及正弦定理,将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9.【2018年高考浙江卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =b =2,A =60°,则sin B =___________,c =___________.,3 【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =,所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=(负值舍去).【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.解答本题时,根据正弦定理得sin B ,根据余弦定理解出c .sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为________.【解析】根据题意,由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +4sin sin sin A B C =,即1sin 2A =,由2228b c a +-=,结合余弦定理可得2cos 8bc A =,所以A 为锐角,且cos A =,从而求得3bc =,所以ABC △的面积为111sin 22323S bc A ==⨯=,. 【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时,利用正弦定理,通过sin sin b C c B +=4sin sin a B C ,可以求出1sin 2A =,再利用余弦定理求出bc =,然后利用三角形的面积公式求解即可.11.【2018年高考江苏卷】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 ▲ . 【答案】9【解析】由题意可知,ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒,化简得ac a c =+,即111a c+=,因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=,当且仅当23c a ==时取等号,则4a c +的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式,考查分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时,要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验,尤其是等号成立的条件.2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.13.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b,c =3,则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=,得sin 2sin 3b C B c ===,结合b c <可得45B =o ,则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理,结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.14.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连结CD ,则△BDC 的面积是______,cos ∠BDC =_______.【答案】24【解析】取BC 中点E ,由题意:AE BC ⊥,△ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==,∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=. ∵2ABC BDC ∠=∠,∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=,解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=(舍去).综上可得,△BCD ,cos BDC ∠=. 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.15.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.【答案】(1)B =60°;(2). 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin A ≠0,所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ︒++=,可得sincos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos02B ≠,故1sin 22B =,因此B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故122a <<,ABC S <<△. 因此,△ABC面积的取值范围是82⎛⎝⎭. 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识,以及正弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用,考查的很全面,是一道很好的考题. 16.【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中,a =3,–2b c =,cos B =12-. (1)求b ,c 的值; (2)求sin (B +C )的值. 【答案】(1)7b =,5c =;(2. 【解析】(1)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-.因为2b c =+,所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-. 解得5c =. 所以7b =. (2)由1cos 2B =-得sin 2B =.由正弦定理得sin sin a A B b ==在ABC △中,B C A +=π-.所以sin()sin 14B C A +==. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角差的正弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.【2019年高考天津卷文数】在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(1)求cos B 的值; (2)求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)14-;(2)【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =, 又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅. (2)由(1)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==,227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭. 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.18.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值.【答案】(1)3c =;(2)5.【解析】(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.19.【2019年高考江苏卷】如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米). (1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+. 【解析】解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知10AD ==,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ ===此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+. 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P (−13,9),15PB ==. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3),所以线段AD :36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M (3,154),因为5OM ==,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+Q (4+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.20.【2018年高考天津卷文数】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b sin A =a cos(B –π6). (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2A –B )的值.【答案】(1)π3;(2)b ;sin(2A –B )=14【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =,又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =又因为(0π)B ∈,,可得B =π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b .由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =因为a <c ,故cosA =.因此sin 22sin cos 7A A A ==,21cos 22cos 17A A =-=.所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.21.【2017年高考天津卷文数】在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =,222)ac a b c =--.(1)求cos A 的值; (2)求sin(2)B A -的值.【答案】(1)2). 【解析】(1)由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=,得2a b =.由222)ac a b c =--及余弦定理,得2225cos 2b c aA bcac +-=== (2)由(1)可得sin A =,代入sin 4sin a A b B =,得sin sin 4a A B b == 由(1)知A为钝角,所以cos 5B ==. 于是4sin 22sin cos 5B B B ==,23cos 212sin 5B B =-=,故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-. 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系,利用“角转边”可寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系可求角,利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点,常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合,利用正、余弦定理进行解题.解答本题时,(1)首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =,再根据余弦定理即可求得cos A 的值;(2)根据(1)的结论和条件,由cos A 求得sin A ,然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ,再求cos B ,然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ,最后代入sin(2)B A -的展开式即可.22.【2017年高考山东卷文数】在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,3ABC S =△,求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,所以cos 6bc A =-,又3ABC S =△,所以sin 6bc A =, 因此tan 1A =-,又0πA <<, 所以3π4A =, 又3b =,所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得29823(2a =+-⨯⨯-,所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. 23.【2017年高考江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm .现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm .(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度; (2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱1GG 上,求l 没入水中部分的长度.【答案】(1)16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm);(2)20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm).【解析】(1)由正棱柱的定义,1CC ⊥平面ABCD ,所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ,1CC AC ⊥. 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.因为40AC AM ==,所以30MC ==,从而3sin 4MAC =∠, 记AM 与水面的交点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC ,Q 1为垂足, 则P 1Q 1⊥平面ABCD ,故P 1Q 1=12,从而AP 1=1116sin P MACQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O ,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1⊥平面EFGH ,所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ,O 1O ⊥EG . 同理,平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G 1,K 为垂足,则GK =OO 1=32. 因为EG = 14,E 1G 1= 62,所以KG 1=6214242-=,从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π,所以3cos 5α=-.在ENG △中,由正弦定理可得4014sin sin αβ=,解得7sin 25β=. 因为02βπ<<,所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2,过P 2作P 2Q 2⊥EG ,Q 2为垂足,则P 2Q 2⊥平面EFGH , 故P 2Q 2=12,从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时,(1)转化为直角三角形ACM 中,利用相似性质求解AP 1;(2)转化到三角形EGN 中,先利用直角梯形性质求角1EGG ∠,再利用正弦定理求角ENG ∠,最后根据直角三角形求高,即为l 没入水中部分的长度.解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果.。
第三章 三角函数、解三角形第4讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、必记2个知识点1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=sin_αcos_β±cos _αsin_β; cos(α∓β)=cos_αcos_β±sin _αsin_β; tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; tan 2α=2tan α1-tan 2α. 二、必明2个易误区1.在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=22所对应的角α+β不是唯一的. 三、必会3个方法1.公式的常用变形(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); (2)cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2; (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α±cos α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 2.角的变换技巧2α=(α+β)+(α-β); α=(α+β)-β;β=α+β2-α-β2; α-β2=⎝⎛⎭⎪⎫α+β2-⎝⎛⎭⎪⎫α2+β. 3.三角公式关系1.已知sin α=35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π,则2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=________.解析:cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=cos 2α-sin 2α2⎝⎛⎭⎪⎫22sin α+22cos α=cos α-sin α,∵sin α=35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴cos α=-45.∴原式=-75.2.(2013·四川高考)设sin 2α=-sin α,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则tan 2α的值是________.解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-12,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴sin α=32,tan α=-3,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=-231--32= 3.答案: 3[类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.[典例] ( ) A .-22 B.22 C.12 D .-12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°-sin 2155°的值为( ) A .-12 B.12 C.32 D .-32[解析] (1)由tan A tan B =tan A +tan B +1,可得tan A +tan B 1-tan A tan B =-1,即tan(A +B )=-1,所以A +B =3π4,则C =π4,cos C =22.故选B.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°-sin 2155°=sin 70°sin 20°cos 310°=cos 20°sin 20°cos 50°=12sin 40°sin 40°=12. [类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. [针对训练]1.(2014·赣州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6+cos α=435,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3的值为( )A.45B.35C.32D.35 解析:选A 由条件得32sin α+32cos α=435,即12sin α+32cos α=45.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=45.2.若α+β=3π4,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________.解析:-1=tan 3π4=tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β,∴tan αtan β-1=tan α+tan β.∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2.答案:2[典例] (2014·常州一模)已知α,β均为锐角,且sin α=5,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.[解] (1)∵α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,从而-π2<α-β<π2又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010. (2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×31010+35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1010=91050.[类题通法]1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;3.注意角变换技巧. [针对训练]1.设tan ()α+β=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=( )A.1318 B.1322 C.322 D.16解析:选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan(α+β)-⎝⎛⎭⎪⎫β-π4=α+β-tan ⎝⎛⎭⎪⎫β-π41+α+β⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=322. 2.若0<α<π2,-π2<β<0,且sin β=-513,cos(α-β)=35,sin α=________.解析:∵0<α<π2,-π2<β<0,∴0<α-β<π,∵cos(α-β)=35,∴sin(α-β)=45∵sin β=-513,且-π2<β<0,∴cos β=1213,∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=45×1213+35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-513=3365.答案:3365课后作业[试一试]1.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( B ) A .-22 B.22 C.32D .1 2.(2013·江西高考)若sinα2=33,则cos α=( ) A .-23 B .-13 C.13 D.23解析:选C 因为sin α2=33,所以cos α=1-2sin 2 α2=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332=13.[练一练]1.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6=37,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+β=25,则tan(α+β)的值为( D )A.2941 B.129 C.141D .1 2.(2013·全国卷Ⅱ)已知sin 2α=23,则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=( )A.16B.13C.12D.23 解析:选A 法一:cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π2=12(1-sin 2α)=16.法二:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=22cos α-22sin α,所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=12(cos α-sin α)2=12(1-2sin αcos α)=12(1-sin 2α)=16. [做一做]1.(2014·青岛高三期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =35,则sin 2x 的值为( )A .-2425 `B.2425 C .-725 D.725解析:选C sin 2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π2=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=-725.2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=-33,则cos x +cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3的值是( )A .-233B .±233C .-1D .±1解析:选C cos x +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=cos x +12cos x +32sin x =32cos x +32sin x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x +12sin x =3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6=-1.3.若f (α)=2tan α-2sin2α2-1sin α2cosα2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12=________. 解析:∵f (α)=2tan α--cos α12sin α=2sin αcos α+2cos αsin α=4sin 2α,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12=4sin π6=8.答案:8 4.已知cos(α+β)=16,cos(α-β)=13,则tan αtan β的值为________.解析:因为cos(α+β)=16,所以cos αcos β-sin αsin β=16.①因为cos(α-β)=13,所以cos αcos β+sin αsin β=13.②①+②得cos αcos β=14.②-①得sin αsin β=112.所以tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=13.答案:135.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,且sin α2+cos α2=62.(1)求 cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos β的值.解:(1)因为sin α2+cos α2=62,两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-32.(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-32×45+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=-43+310. 6.化简cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( )A.12B.32 C .-12 D .-32解析:选A cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°=cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°=cos(15°+45°)=cos 60°=12.7.设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,则tan (α+β)的值为( ) A .-3 B .-1 C .1 D .3解析:选A 由题意可知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,则tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-3.8.(2013·洛阳统考)函数f (x )=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x -3cos 2x ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A .2B .3C .2+ 3D .2- 3解析:选B 依题意,f (x )=1-cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4+x -3cos 2x =sin 2x -3cos 2x +1=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+1,当π4≤x ≤π2时,π6≤2x -π3≤2π3,12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3≤1,此时f (x )的最大值是3,选B. 9.对于集合{a 1,a 2,…,a n }和常数a 0,定义:ω=sin2a 1-a 0+sin 2a 2-a 0+…+sin 2a n -a 0n为集合{a 1,a 2,…,a n }相对a 0的“正弦方差”,则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2,5π6,7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14D .与a 0有关的一个值 解析:选A 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2,5π6,7π6相对a 0的“正弦方差”ω=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-a 0+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6-a 0+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6-a 03=cos 2a 0+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+a 0+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-a 03=cos 2a 0+⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0+32sin a 02+⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0-32sin a 023=cos 2a 0+12cos 2a 0+32sin 2a 03=322a 0+cos 2a 03=12.。
【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题一三角函数综合三角函数求值【背一背基础知识】1.三角函数定义:在直角坐标系中,α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,是一个任意角,P(,)x y 是α终边上一点(不与原点重合),它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y=+=+>,那么sinyrα=,cosxrα=,tanyxα=.2.三角函数在各象限的符号:3.同角三角函数的基本关系:(1)平方关系:22sin cos1αα+=,()2sin cos12sin cos1sin2ααααα±=±=±(2)商数关系:sintan,cos2k k Zαπααπα⎛⎫=≠+∈⎪⎝⎭.4.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限【公式一】()sin2sinkαπα+=,()cos2coskαπα+=,()()tan2tank k Zαπα+=∈;【公式二】()sin sinπαα+=-,()cos cosπαα+=-,()tan tanπαα+=;【公式三】()sin sinαα-=-,()cos cosαα-=,()tan tanαα-=-;【公式四】()sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-; 【公式五】sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭; 【公式六】sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭;【公式七】3sin cos 2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭,3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭; 【公式八】3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭; 5.两角和与差的三角函数:(1)和角:()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+,()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-,()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-;(2)差角:()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-,()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+,()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+;6.二倍角公式:sin 22sin cos ααα=,2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-,22tan tan 21tan ααα=-. 【讲一讲基本技能】1. 必备技能:利用同角三角函数的基本关系求值时,一般先确定角的范围,确定所求角的三角函数值的正负,然后利用同角三角函数的平方关系或商数关系进行求解;利用两角和与差的三角函数或二倍角公式求值时,先观察已知角与未知角之间的关系,用已知角将未知角表示出来,再利用同角三角函数的基本关系求出相关角的相关三角函数值,选择相应的公式(和差角公式或二倍角公式)进行展开求解. 2. 典型例题例1 已知角α的终边经过点P (-4,3),(1)求()()απααπ+-+-tan cos )sin(的值;(2)求1sin cos cos sin 22+-+αααα的值.分析:(1)根据三角函数定义,由角α的终边经过点P (-4,3),所以r=5,54cos ,53sin -==αα,所以由诱导公式化简原式代入得154435453tan cos sin =--=+ααα;(2)由(1)中可知54cos ,53sin -==αα,直接代入1sin cos cos sin 22+-+αααα中可得原式=45. 【解析】例2 已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x R ∈,且23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求A 的值; (2)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.分析:本题是考查三角函数求值问题,主要考查利用诱导公式与和差角公式以及同角三角函数基本关系求值问题.第(1)问是利用题干中的已知条件代数计算求出A 的值;第(2)问也是利用题干中的已知条件代数进行计算,借助诱导公式进行化简,然后利用同角三角函数的基本关系求出其它的三角函数值,最后利用和角公式展开求值. 【解析】(1)()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2A ∴=;(2)由(1)知()2cos 46x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因此15sin 17α=, 212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=,α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以cos 0α>,sin 0β>,所以8cos 17α===,3sin 5β===,()8415313cos cos cos sin sin 17517585αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=-. 例3 已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根,且α是第三象限角.(1)求2sin cos sin cos αααα-+的值;(2)求cos sin αα+的值.分析:(1)先解一元二次方程:121,12x x =-=,再根据α范围,确定tan α取值:1tan 2α=-,最后将所求式子化为切,代入正切值计算结果:2sin cos 2tan 12111sin cos tan 1112αααααα--⨯-===+++(2)利用同角三角函数关系解方程组22sin tan 1cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩,注意α范围,在开方时取负值:sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此代入可求cos sin αα+的值 【解析】【练一练趁热打铁】1.已知25sinα=-,且tan0α<.(1)求tanα的值;(2)求()()2sin cos23cos sin22αππαππαα++-⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】(1)2-;5-.【解析】2.已知函数()12sin36f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭,x R∈. (1)求54fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,()6325f βπ+=,求()cos αβ+的值.【答案】(1)54f π⎛⎫=⎪⎝⎭;(2)()16cos 65αβ+=.【解析】(1)()12sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以5152sin 2sin 43464f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)110532sin 32sin sin 23261313f πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-==⇒= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ()()163322sin 322sin 2cos cos 36255f ππβπβπβββ⎡⎤⎛⎫+=+-=+==⇒= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以12cos 13α===,4sin 5β===,所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 3. 已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (1) 求4f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (2) 若4cos 5θ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】(1)142f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;(2)23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭50=.【解析】三角函数的基本性质【背一背基础知识】1.降幂公式:21cos 2cos2αα+=,21cos 2sin 2αα-=,sin 2sin cos 2ααα=; 2.辅助角公式:()()22sin cos 0a x b x a b x a ϕ+=++>,其中ϕ由tan baϕ=确定; 3.三角函数的基本性质: 函数正弦函数sin y x =余弦函数cos y x =图象yx-11O-3π2-π2-π-2π3π2π2π2πOy x-11-32π32π-π2π2-2π2π-ππ定义域R R值域[]1,1-[]1,1-最值当()22x k k Z ππ=+∈时,max 1y =当()22x k k Z ππ=-+∈时,min 1y =-当()2x k k Z π=∈时,max 1y =当()()21x k k Z π=+∈时,min 1y =-4.三角函数图像变换(1)平移变换:sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+ (2)周期变换:sin y x =1ω向横坐标变为原来的单位,纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>(3)振幅变换:sin y x =A 纵坐标变为原来的单位,横坐标不变sin (0)y A x A =>【讲一讲基本技能】1.必备技能:①在求解三角函数的基本性质时,首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为()sin A x b ωϕ++或()cos A x b ωϕ++,然后利用整体法u x ωϕ=+并借助正弦函数或余弦函数进行求解;在求函数()()sin f x A x b ωϕ=++在x D ∈上的最值时,首先求出u =x ωϕ+的取值范围D ',然后作出正弦函数在区间D '的图象,确定sin u 的最值,然后代入解析式进行求解.②在解已知三角函数图像求解析式问题时,常有两种思路,思路1:先根据图像求出周期和振幅,利用周期公式求出ω,再由特殊点(常用最值点)求出ϕ;思路2:先根据图像求出振幅A ,再利用sin()y A x ωϕ=+“五点点作图法”列出关于ωϕ,的方程,即可求出ωϕ,.③在处理图像变换问题时,先把函数化成系数为正同名三角函数,再利用图像变换知识解题,注意用“加左减右,加上减下”判定平移方向,先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 2.典型例题例1 已知函数()2sin(2) 1.4y f x x π==++(1)求函数)(x f 的最大值和最小值以及取最大、最小值时相应x 的取值集合; (2)写出函数)(x f 的单调递增区间. (3)作出此函数在一个周期内的图像。
1
基础知识专题训练10
一.考试要求
内 容
等级要求
A B C
1.三角函数
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 √
函数)sin(xAy的图象和性质
√
不要求内容
确定函数y=Asin(ωx+j)中的j值
淡化内容
已知三角函数值求角;由y=sinx的性质讨论y=Asin(ωx+j)的性质(仅要求掌握教材
中的例题、习题)
二.考点回顾
15、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR、正切函数tany的性质:
函数
性质
siny
cosy
tany
图像
定义域
值域
周期
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
对称性
对称中心
对称轴
16、形如sin()yAx的函数:
(1)几个物理量:A― ;1fT― (周期的倒数);x― ;― ;
(2)函数sin()yAx表达式的确定:A由最 定;由 确定;由图象上的特殊点确定,
(3)函数sin()yAx图象的画法:①“五点法”――设Xx,分别令X= 求
出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
()sin()fxAx和()cos()fxAx
的最小正周期都是T 。
(4)函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系:特别注意,若由sinyx得到
sinyx
的图象,则向左或向右平移应平移 个单位。
(5)研究函数sin()yAx性质的方法:类比于研究sinyx的性质,只需将sin()yAx中
2
的 ___________看成sinyx中的x,但在求sin()yAx的单调区间时,要特别注意A和
的符号,通过诱导公式先将化正。
三.基础训练
1.函数y=tan35 x是
A.周期为π的偶函数 B.周期为53 π的奇函数
C.周期为53 π的偶函数 D.周期为π的奇函数
2.已知f(x)=sin(x+π2 ),g(x)=cos(x-π2 ),则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移π2 个单位,得到g(x)的图象
D.向右平移π2 个单位,得到g(x)的图象
3.若x∈(0,2π),函数y=sinx +-tanx 的定义域是
A.( π2 ,π] B.( π2 ,π) C.(0,π) D.( 3π2 ,2π)
4.函数y=sin(2x+5π2 )的图象的一条对称轴方程为
A.x=5π4 B.x=-π2 C.x=π8 D.x=π4
5.函数f(x)=sinx+5π2 ,g(x)=cosx+5π2 ,则
A.f(x)与g(x)皆为奇函数 B.f(x)与g(x)皆为偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
6.下列函数中,图象关于原点对称的是
A.y=-|sinx| B.y=-x·sin|x|
C.y=sin(-|x|) D.y=sin|x|
7.要得到函数y=sin(2x-π4 )的图象,只要将y=sin2x的图象
A.向左平移π4 B.向右平移π4
C.向左平移π8 D.向右平移π8
8.下图是函数y=2sin(ωx+)(||<π2 )的图象,那么
A.ω=1011 ,=π6 B.ω=1011 ,=-π6
C.ω=2,=π6 D.ω=2,=-π6
9.在[0,2π]上满足sinx≥12 的x的取值范围是
3
A.[0,π6 ] B.[π6 ,5π6 ] C.[π6 ,2π3 ] D.[5π6 ,π]
10.函数y=5+sin22x的最小正周期为
A.2π B.π C. π2 D. π4
11.若函数y=Acos(ωx-3)的周期为2,则ω= ;若最大值是5,则A= .
12.由y=sinωx变为y=Asin(ωx+),若“先平移,后伸缩”,则应平移 个单位;若“先伸
缩,后平移”,则应平移 个单位即得y=sin(ωx+);再把纵坐标扩大到原来的A倍,就是
y
=Asin(ωx+)(其中A>0).
13.不等式sinx>cosx的解集为 .
14.函数y=sin(2x+π3 )的递增区间是
15.如果4x,那么函数xxxfsincos)(2的最小值是
16.函数sin(2)4yx的单调增区间是
17.函数)632cos(32sin)(xxxf的图象相邻的两条对称轴间的距离是
18.在△ABC中,BC=1,∠B=3,当△ABC的面积为3时,Ctan
19.已知函数y=3sinx+cosx,x∈R.
(1)求最小正周期;
(2)求函数的单调递增与递减区间;
(3)求函数的最大值、最小值,及函数取得最大、最小值时值自变量x的集合;
(4)求函数的对称中心及对称轴;
(5)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
4
20. 已知函数()sin()(0,0),fxAxaxR的最大值是1,其图像经过点1(,)32M。
(1)求()fx的解析式;
(2)已知,(0,)2,且312(),(),513ff求()f的值。
21.设函数3sin6fxx,0>,,x,且以2为最小正周期.
(1)求0f;o(2)求fx的解析式;
(3)已知94125f,求sin的值.