§1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一 正弦定理
思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，c
sin C
分别等于什么？
答案
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C 还成立吗？
答案 在一般的△ABC 中，
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
仍然成立． 梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C
，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
知识点二 解三角形
一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫做解三角形．
1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
.(√)
2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)
类型一 正弦定理的证明
例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解
证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，
根据正弦函数的定义知，
CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴
a sin A ＝b
sin B
. 同理，b sin B ＝c sin C
. 故
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证a sin A ＝b
sin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是
有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：
a
sin A ＝2R .
考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解
证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .
∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，
∴sin A ＝a 2R ，即a
sin A ＝2R .
类型二 已知两角及一边解三角形
例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝
a sin B sin A ＝10sin 60°
sin 30°
＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°
sin 30°
＝20.
反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c
sin C
，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得
A ＝180°－(
B ＋
C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°
sin 45°＝9 6.
类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形
例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形 解 ∵
a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝3
2
， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝
c sin B sin C ＝6sin 75°
sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝
c sin B sin C ＝6sin 15°
sin 120°
＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究
若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·2
26＝3
3.
∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .
∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为
3
3
，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．
跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，
得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝2
2.
∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，
∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.
