数值计算方法作业
实验4.3 三次样条差值函数
实验目的：
掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。
实验函数:
dt e
x f x
t ⎰
∞
--
=
2
221)(π
实验内容：
（1） 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； （2） 计算各插值节点的弯矩值；
（3） 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线
比较插值结果。
实验4.5 三次样条差值函数的收敛性
实验目的：
多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。
实验内容：
按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。
实验要求：
（1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情
况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；
（2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考
虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一
算法描述：
拉格朗日插值：
错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：()
∏
≠=--=n
i j j j i j
i x x x x x l 0)
()(
牛顿插值：
)
)...()(](,...,,[....
))(0](,,[)0](,[)()(1102101210100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N
其中⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
--=--=
--=
-)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[01102110x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n i k j i k j k j i j
i j i j i
三样条插值：
所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a]
,[),6()6(]6
)
([6)(6)()(111113131
i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x h y
M h M h h y x M M h h y y h x x Mi h x x M x S -------∈-+-+---+-+-=
式中Mi=)(i x S ''.
因此，只要确定了Mi 的值，就确定了整个表达式，Mi 的计算方法如下：
令⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---+=+=+=+--++++++],,[6)(61111111
11
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
x x x f h y y h y y h h d h h h h h h λμ
则Mi 满足如下n-1个方程：
1,...2,1,211-==+++-n i d M M M i i i i i i λμ 常用的边界条件有如下几类：
（1） 给定区间两端点的斜率m 0,m n ,即n n n m y x S m y x S ='='='=')(,)(00
0 （2） 给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即n n n M y x S M y x S =''=''=''='')(,)(00
0 （3） 假设y=f(x)是以b-a 为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S （x ）
也为周期函数，对S （x ）加上周期条件2,1,0),0()0()(0)(=-=+p x S x S n p p
对于第一类边界条件有⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
--=+--=+--)
(62)(6211001110n n n n n n i h y y mn h M M m h y y h M M
对于第二类边界条件有⎩⎨⎧=+=+-n n n n d M M d M M 221
100μλ
其中
n n n n n
n
n M u x x f m h d M m x x f h d )1(2]),[(6)1(2)],[(610000101
0-+-=
-+-=
-μλλ
那么解就可以为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n n n n d d d d d M M M M M 1210121011...2...............2............................1..2.1......0..2μλμλμλ 对于第三类边界条件，)0()0(,,000-=+==n n n x S x S M M y y ，由此推得
0010012d M M M n =-++μλ，其中
