【数学】陕西省汉中市汉台中学2021届高三(下)月考试卷(理)

陕西省汉中市汉台中学2021届高三（下）月考数学试卷

（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.共60分）

1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）

A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0

C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0

2．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}，则A∩B=（）

A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{﹣2，0}

3．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）

A．B．C．1 D．2

4．（5分）执行如图的程序框图，输出的S的值为（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1﹣

5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（）A．B．C．1或﹣D．1或

6．（5分）定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）（）

A．图象关于（π，0）中心对称B．图象关于直线对称

C．在区间上单调递增D．周期为π的奇函数

7．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）

A．14 B．15 C．16 D．17

8．（5分）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）

A．150 B．180 C．200 D．280

9．（5分）如图，将绘有函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）

A．﹣1 B．1 C．﹣D．

10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．

11．（5分）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0，且a≠1），+=，若数列{}的前n 项和大于62，则n的最小值（）

A．5 B．6 C．7 D．8

12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）

13．（5分）已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=．14．（5分）曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为．

15．（5分）若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为．

16．（5分）分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

已知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为．

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos C﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求a．

18．（12分）时下，租车已成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来．已知甲、乙两人租车自驾到黄山游玩，某小车租车点的收费标准是：不超过两天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足一天部分按1天计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过两天还车的概率分别为，；2天以上且不超过3天还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过4天．

（I）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；

（II）设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．19．（12分）如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；

（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．

21．（12分）设函数，m∈R．

（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；

（2）讨论函数零点的个数．

选考题（请在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所选的第一题记分）[选修4-4：极坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣1|．

（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．

参考答案

一、选择题

1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．C

二、填空题

13．2 14．y=x+4 15．11

16．（14，13），n∈N+

三、解答题

17．解：（Ⅰ）由2a cos C﹣c=2b及正弦定理得，

2sin A cos C﹣sin C=2sin B，

2sin A cos C﹣sin C=2sin（A+C）=2sin A cos C+2cos A sin C，

∴﹣sin C=2cos A sin C，

∵sin C≠0，∴cos A=，

又A∈（0，π），∴A=；

（Ⅱ）在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，

由正弦定理得，

∴sin∠ADB===，

由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2（）=，

∴∠ACB==，AC=AB=