湖南省衡阳县第一中学2020学年高二数学12月学科竞赛试题理

衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛数学试题

分值：150分 时量：120分钟 命题人：

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列

{}n a 中，1243,2a a a ==，则7

a 等于（

b ）

A ．12

B ．21

C ．15

D ．18

2.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则3

14

S a a +等于（ a ）

A ．

79 B ．57 C ．23 D ．12

3.已知命题:p 若3x <-，则2280x x -->，则下列叙述正确的是（ D ） A ．命题p 的逆命题是：若2280x x --≤，则3x <- B ．命题p 的否命题是：若3x ≥-，则2280x x --> C ．命题p 的否命题是：若3x <-，则2280x x --≤ D ．命题p 的逆否命题是真命题

4.若实数,x y 满足约束条件240

30230

x y x y x y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪+-≤⎩

，则33x y x +--的最小值为（ a ）

A ． 0

B ．

12 C.4

3

D ．-1 5.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是a b c 、、，已知2sin 2A sin b a B =，且2,3b c ==，

则a 等于（ C ）

A

B

．

．4

6．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为

终

边

构

成

的

角

为

60

°

则

=FM

（ c ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

7.已知点F 1,F 2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B 是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF 1|

为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F 2AB 是正三角形,则此椭圆的离心率为( d ) A.

B.

C.

-1

D.

-1

8.已知数列3

2112

1

,

,,,

,n

n a a a a a a a -是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列{}n a 中的

项是（ b ）

A ．16

B ．64

C ．32

D ．128

9.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若3

sin sin sin 2

b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为2sin a B ，则cos B 等于（ D ） A ．

23 B ．25 C ．13 D ．14

10.已知22a b +=，且1,0a b >>，则21

1a b

+-的最小值为（ a ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4

11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()2

11n n n n a S S S ---=，且11a =，设

1

2

log 6

n n a b +=，则1210b b b +++等于（ c ）

A ．64

B ．72

C ．80

D ．90 12.若双曲线

-=1(a>0,b>0)上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心)的对称

点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( c ) A.(,+∞) B.[,+∞) C.(1,

]

D.(1,

)

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在数列{}n a 中，2337

,23a a =

=，且数列{}1n na +是等差数列，则n a =___45n n

- ______． 14.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为

(),sin sin ,sin 3sin 3a b c a b A B a C A π⎛⎫

≥-== ⎪⎝⎭

、、，则a b +的最大值为____2_________．

15.椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,若直线y=kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k=

2

2

±

. 16.已知函数f(x)=log a (2x

+b-1)(a>0,且a ≠1)在R 上单调递增,且2a+b ≤4,则的取值范围为

[,2 )

由2x +b-1在R 上单调递增,f(x)=log a (2x +b-1)在R 上单调递增,得a>1.

由2x

+b-1>0,得b-1≥0,即b ≥1,所以a 1,b 1,2a b 4,>⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩

画出可行域,如图,由

=

,得的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范

围,由图可知k OB 最大,k OA 最小,由a 1,

2a b 4,=⎧⎨+=⎩得B(1,2),所以k OB =2,由

b 1,

2a b 4,

=⎧⎨

+=⎩得A(,1),所以k OA =,结合图形得∈[,2). 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）

设条件2:2310p x x -+≤；条件()()2

:2110q x a x a a -+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，

求实数a 的取值范围．

.解：设{

}

2

|2310A x x x =-+≤，

()(){}()(){}2|2110|10B x x a x a a x x a x a =-+++≤=---≤，

则{}1|1,|12A x x B x a x a ⎧⎫

=≤≤=≤≤+⎨⎬⎩⎭

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分