用均值不等式求最值的方法和技巧
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用均值不等式求最值的方法
和技巧
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”
号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+>-的最小值。 解析：
21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)
x x x x --=+++>-
1
≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2
。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析：
①30,3202x x <<->∴，∴23
(32)(0)(32)2
y x x x x x x =-<<=⋅⋅-
3
(32)[
]13
x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大
值是1。②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先
求y 2的最大值。
242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221
(sin sin 2cos )2
x x x =⋅⋅
22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)
2
x π< x ⇒=x arc =时，不等式中的“=。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y +∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知，当(0,1] x ∈时，函数4 ()f x x x =+是减函数。 证明： 任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212 44 ()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+⋅121212 4 ()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12 1212 4 0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。 故当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4 ()f x x x = +24=+，易知当01 x <≤时， 0μ => 且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24 ()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时， 24()10f x x '=-<，则函数4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。故当1x =时， 4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。