数形结合思想中考举例
数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用只有在反复的运用中才能被真正掌握，成功的思想方法（特别是有广泛应用性的数学思想）需要有意识地贯通在平时的教学中。数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。它是一种重要的解题策略，作为一名中学数学教师，在教学中要善于挖掘数形结合的例子，提炼数形结合的思想，做好“数”与“形”关系的揭示和转化，引导学生用图形直观地研究数式问题，用数式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。
近年来的各地中考中出现了借助数形结合思想方法的中考问题，这类试题综合性强,能力要求高,常作为中考的压轴题，它能全面考查学生分析问题和解决问题的能力，有助于培养学生用相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点分析事物，有助于培养学生的思维品质和创新精神。本文从全国中考数学试题中精选几例，分类阐述，以飨读者。 1、由数到形、形数结合
【例】 已知正比例函数y kx =的图象与反比例函数5k
y x
-=（k 为常数，0k ≠）的图象有一个交点的横坐标是2．
⑴求两个函数图象的交点坐标；
⑵若点11()A x y ，，22()B x y ，是反比例函数5k
y x
-=
图象上的两点，且12x x <，试比较12y y ，的大小． 分析与解：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-==252k y k y 消去字母y ，得522k k -=
，解得1k =．所以正比例函数的表达式为y x =，反比例函数的表达式为4
y x
=．要求两个函数图象的交点坐标，只须在
得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数4
y x
=的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函
数y x =的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），
由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为(22)--，．所以两函数图象交点的坐标为（2，2）
，(22)--，．
（2）利用上问中所化图形得反比例函数4
y x
=
的图象的y 的值随x 值的增大而减小，所以当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，因为1140y x =
<，22
4
0y x =>，所以12y y <． 评注：借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来，求解的关键是：挖掘出数式的几何意义，以形为手段，数为目的，借助形的直观具体来表明数式之间的关系。本题突出考查了学生几何、代数知识综合运用的能力，数形结合的能力。 2、变形为数，数形变通
【例】 如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，
且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． ⑴求点D 的坐标； ⑵求直线2l 的解析表达式； ⑶求ADC △的面积；
⑷在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标． 分析与解：（1）求点D 的坐标通常的方法是由直线1l 的解析表达式33y x =-+与0y =联立方程组，消去y 得关于x 的方程330x -+=．1x ∴=．(10)D ∴，．
（2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32
y =-
． 4033.2k b k b +=⎧⎪∴⎨+=-⎪⎩，326.k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为3
62y x =-． （3）由333
6.2
y x y x =-+⎧⎪
⎨=-⎪⎩，
解得23.x y =⎧⎨=-⎩，(23)C ∴-，．3AD =，19
3322
ADC S ∴=⨯⨯-=△．
（4）(63)P ，．
l 1
l 2
y
D O
3
B C A 32-
（4，0）
评注：变形为数，数形变通即以数为手段，形为目的，借助于数的精确性来阐明形的某种属性，这种类型的问题的解决方法是图形坐标化。
综合上面的分析，我们对初中数学中数与形的一些基本关系，以及利用这种基本关系来处理数学问题，有了一点了解，但我们只是借助坐标系作媒介。任何一个代数形态的数学问题常可有一个几何形态的数学问题与之对应，研究这两种对应形态的关系及相互转化、结合是我们经常要研究的问题，也是各中考常考查学生能力的一个重要问题，数形结合思想很重要，随时着新课程改革的深入，素质教育的不断推进，我相信今后的中考会有更多、更好的考查学生数学思想方法的问题出现。
