1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设2

2

1

cos()sin

y x x

=,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿.

(3) 曲线2

3

1x t

y t

⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.

(4) 22

2

12

lim(

)12

n n

n n n n n n n

→∞

+++

=++++++＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线2

2x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ϕ有间断点,

则 ( ) (A) [()]f x ϕ必有间断点 (B) 2

[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 (D)

()

()

x f x ϕ必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )

(A) 2

(1)(2)x x x dx ---⎰

(B)

1

20

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰

⎰

(C) 12

1

(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰

(D)

2

(1)(2)x x x dx --⎰

(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则

( )

(A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加

(4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小

顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (5) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,若使()F x 在0x =处可导,则必有 ( )

(A) (0)0f = (B) (0)0f '= (C) (0)(0)0f f '+= (D) (0)(0)0f f '-=

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)

求0

lim x +

→(2) 设函数()y y x =由方程()

f y y

xe

e =确定,其中

f 具有二阶导数,且1f '≠,求22d y

dx

.

(3) 设2

2

2(1)ln 2

x f x x -=-,且[()]ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰.

(4) 设2

1arctan ,0,() 0, 0,

x x f x x x ⎧

≠⎪

=⎨⎪=⎩试讨论()f x '在0x =处的连续性. (5) 求摆线1cos sin x t

y t t =-⎧⎨=-⎩

一拱(02t π≤≤)的弧长.

(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00t v v ==,已知阻力与速度成正比(比例常

数为1),问t 为多少时此质点的速度为0

3

v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.

四、(本题满分8分)

求函数2

()(2)x t f x t e dt -=

-⎰

的最大值和最小值.

五、(本题满分8分)

设x

y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解.

六、(本题满分8分)

如图,设曲线L 的方程为()y f x =,且0y ''>,又,MT MP 分别为该曲线在点

00(,)M x y 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为3220

(1)

y y '+''(其中0

0(),y y x ''= 0

0()y y x ''''=),试推导出点(,)P ξη的坐标表达式.

七、(本题满分8分)

设0

sin ()x

t

f x dt t

π=

-⎰

,计算0()f x dx π⎰.

八、(本题满分8分)

设0

()

lim

1x f x x

→=,且()0f x ''>,证明()f x x ≥.

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】222

2

2

cos()sin

12sin()sin x x x x x

x ⋅-⋅-

【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,

2

22211cos()sin cos()sin y x x x x '

⎡⎤''⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎣

⎦

2

2

221111

sin()2sin

cos()2sin cos (1)x x x x x x x

=-⋅⋅+⋅⋅⋅- 22222

cos()sin 12sin()sin x x x x x x

⋅=-⋅-. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【答案】12cos sin 2y c x c x x =+-

【解析】微分方程2y y x ''+=-对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为2

10r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +.

设非齐次方程的特解Y ax b =+,则Y a '=,0Y ''=,代入微分方程2y y x ''+=-,得

02ax b x ++=-,

比较系数得2,0,a b =-=故2Y x =-.所以通解为

12cos sin 2y C x C x x =+-.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*

()y x 是二阶线性非齐次方程

()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程

变为0y py qy '''++=.其特征方程写为2

0r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1

212;rx r x y C e C e =+