沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 锐角三角比的意义(一) 教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

[课题]：锐角三角比的意义（一）

[知识目标]：1、了解放缩变换中的不变量；2、理解并记住锐角的正切和余切的意义及其表示法和读法；3、了解同角的正切和余切之间的关系及互余两角的正切和余切之间的关系；4、能由直角三角形中任意两边的值求出锐角的正切和余切值。

[能力目标]：在探研锐角正切、余切的概念中，培养学生发散性思维，培养学生综合运用知识的能力。

[情感目标]：培养学生学习兴趣和学生思维互助，勇于探索的精神。

[教学重点]：锐角的正切和余切的意义。

[教学难点]：锐角的正切和余切表示法的理解与运用。在各种位置下直角三角形中的锐角三角比。

[教学方法]：“引导、讨论、探索”教学法。

[教学用具]：三角尺、多媒体课件等。

[课的类型]：新授课。

[教学过程]：

（一）复习提问

1、任意两个等腰三角形是否一定相似？

2、任意两个直角三角形是否一定相似？

3、任意两个等腰直角三角形是否一定相似？

4、等腰直角三角形中两直角边之比为多少？这与等腰直角三角形的大小有关系吗？两块大小不同，但同含45°角的三角尺中，45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值。

5、任意两个有一个锐角为30°的直角三角形是否一定相似？30°角所对的直角边与另一直角边（即30°角的邻边）之比为多少？、

学生初步形成概念：直角三角形中，一个锐角所对的直角边、所邻的直角边和斜边中任两条线段长度之比值与直角三角形的大小无关。

讲课进程：（1）、讨论：锐角是450的那块三角尺的边长之间的关系。类似地可得锐角是300的那块三角尺的边长之间的关系。

（2）、操作：1、任作锐角∠A（分两大组进行），画RtΔABC，其中∠C=900，要求每位同学量出所画的RtΔABC的各边长，并计算出两条直角边的比值。2、延长AB到P，延长AC到Q，在AP上任取B1、B2、B3，分别过B1、B2、B3作AQ的垂线，垂足为C1、C2、C3。

（3）、讨论：根据以上作图，可得出什么结论？当锐角A的大小确定后，无论RtΔABC的边长怎样变化，两条直角边的比值总是不变的，即在放缩变换中，除了角是不变的量以外，还有两条直角边的比值也是不变的

（4）、以上结论怎样表示呢？给出正切和余切的定义。

强调：1、正切、余切的定义是在RtΔABC中定义的。2、tgA是一个整体符号，不能分割。

（5）、讨论：1、tgA与ctgA之间有何关系？2、tgA与ctgB之间有何关系？tgB与ctgA之间呢？

（6）、讨论：在直角三角形中，求一锐角的正切或余切，需要已知什么条件？

（二）锐角的正切、余切概念引入及运用

1（1）如图1，Rt△ABC（或△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3）中，∠C＝90°，（∠B1C1A＝∠B2C2A＝B3C3A ＝90°），∠A＝30°，

则。

（2）如图2，Rt△ABC（或△AB1C1，△AB2C2）中，∠C＝90°，（∠B1C1A＝∠B2C2A＝90°），∠A＝

45°，则。

思考：在（1）中你能算出的值吗？在（2）中你能算出的值吗？

(3)、引出：如图3，当∠A确定后，在一边AB上取点B1、B2、B3…，过点B1、B2、B3…分别作AC的垂线，垂足是C1、C2、C3…，这样得到了Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3…，由△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3…，（或B1C1∥B2C2∥B3C3…）可得：

是一个确定的值。上式中，各式的分子是Rt△中∠A的对边，分母是∠

A的邻边，即在Rt△ABC中，∠C＝90°，则＝一个确定的值，显然，

也是一个确定的值。

2、锐角A的正切和余切：

如图4 ，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边（BC）与∠A的邻边（AC）的比值叫做∠A的正

切，用tgA表示，即tgA＝。

注：（1）锐角A的正切必须在含A的直角三角形中获得；

（2）tgA是锐角A的正切表示，它是一个整体，绝不能分开；

（3）Rt△中的三条边（两条直角边，一条斜边）对任一锐角都是一条对边，一条邻边，一条斜边。（斜边不称锐角的邻边）

3、概念的延伸

（1）思考：同一锐角的正切与余切有怎样的关系？

（2）得出结论：同一锐角的正切与余切互为倒数。

显然，在直角三角形中，一个锐角A确定后，此角的对边与其邻边的比的倒数：

必也是一个确定的值，我们称此值为锐角的余切，用ctgA表示，即：。由上述定义可知：，或。

（3）一锐角的正切与它的余角的余切有怎样的关系？

（4）一锐角的正切等于其余角的余切。即若∠A＋∠B＝90°，那么。

4、练习理解

例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝7，求：的值。

解：在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝7，；

。

（三）巩固练习（课本P.77）

1、（1）（口答）如图，在Rt△ABC和Rt△MNP中，∠C＝∠N＝90°，则

角A的对边是__________，角A的邻边是__________；

角B的对边是__________，角B的邻边是__________；

角P的对边是__________，角P的邻边是__________；

角M的对边是__________，角M的邻边是__________。

（2）（口答）如图，△ABC和△PQR都是直角三角形，∠C＝∠R＝90°，AC＝7，BC＝5，PQ＝5，PR＝3。求：（1）；（2）。

（3）如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，D、E在BC上，AC＝4，BD＝5，EC＝3，∠ABC＝，∠ADC＝，∠AEC＝。求：（1）；（2）；（3）。

2、（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB:AC＝3:2，求的值。

（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，找出与相等的所有的线段的比，