第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时勾股定理
1.了解勾股定理的发现过程.
2.掌握勾股定理的内容.
3.会用面积法证明勾股定理.
自学指导：阅读课本22页至24页，完成下列问题.
知识探究
1.毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了用砖铺的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系.
2.通过你的观察，你发现了等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.命题一：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2.
4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一，把这个命题称作勾股定理.而西方人认为是毕达哥拉斯证明，所以西方人称作毕达哥拉斯定理.
自学反馈
1.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.在直角三角形中，两直角边分别为3、4，那么斜边为5.
3.在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8.
运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.
活动1 小组讨论
探究一：探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.
(1)如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积.
解：A的面积=4；B的面积=9；
C的面积=52-4×1
2
(2×3)=13;
所以A+B=C.
A′=9；B′=25；C′=82-4×1
2
(5×3)=34;
所以A′+B′=C′.
所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)赵爽弦图
解：朱实=1
2
ab；黄实=(a-b)2；
正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+1
2
ab×4=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2；
又正方形的面积=c2，所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方.
探究二：求出直角三角形中未知边的长度.
解：∵Rt△ABC中，∠C为直角,
∴BC2+AC2=AB2,即62+AC2=102.
∴AC2=64.
∵AC>0,∴AC=8.
探究三：一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：木板横着、竖着，都不可能从门框内通过，所以只能试试斜着能否通过.
对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.
求出AC，再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.
解：∵Rt△ABC中，∠B为直角，
根据勾股定理，得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.
∴AC=5≈2.236.
∵AC大于木板的宽，∴木板能从门框通过.
活动2 跟踪训练
1.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，∠C=90°.
(1)已知a=3,b=4.则c=5.
(2)已知c=25,b=15.则a=20.
(3)已知c=19,a=13.则b=83.(结果保留根号)
(4)已知a∶b=3∶4,c=15,则b=12.
利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.
2.(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为5.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，则BC∶AC∶AB=1∶3∶2.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=BC，则AC∶BC∶AB=1∶1∶2.若AB=8,则AC=42.又若CD⊥AB于D,则CD=4.
3.一个3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
解：∵在Rt△AOB中，OB2=AB2-AO2=32-2.52=2.75，
∴OB≈1.658（m).
在Rt△COD中，OD2=CD2-CO2=32-22=5，
∴OD≈2.236（m)，
BD=OD-OB≈2.236-1.658=0.578（m)，
BD≠0.5（m).
4.等边△ABC的边长为a,则高AD=？面积S=？
解：添加辅助线：作AD⊥BC构建直角三角形.
∵三角形ABC为等边三角形，
∴AD平分BC,BD=1
2 a.
在Rt△ABD中，AD2=a2-(1
2
a)2=
3
4
a2，
∴AD=
3
2
a，S=
1
2
·a·
3
2
a=
3
4
a2.
活动3 课堂小结
1.勾股定理的内容及证明.
2.勾股定理的简单应用.
第2课时勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.
2.在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.
自学指导：阅读课本25页至27页，完成下列问题.
知识探究
1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.2的线段是直角边为正整数1，1的直角三角形的斜边.
3.13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边.
自学反馈
1.如何画出长2，5，7的线段.
2.在数轴上画出2，5，7的线段.
活动1 小组讨论
例1 在数轴上画出表示13的点.
解：利用勾股定理，可以得出，长为13的线段是直角边为正整数2，3的直角三角形的斜边.
(1)画数轴，取点A，使OA=3；
(2)过点A画数轴的垂线a，在a上取点B，使AB=2.
(3)以点O为圆心，OB的长为半径作弧，弧与数轴的交点为C.点C即为表示13的点.
例21234…的点.
