第一章随机事件与概率课件

(1) AA1A2A3 ；
(2) B A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3； (3) CA1A2A3 ( CA1A2A3 )； (4) DA1A2A3B
A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3
或 D A 1A 2 A 1A 3 A 2A .3
上述性质依次称为频率的非负性、规范性、(有限)可 性．加经．验证明，当试验进行的次数 n很大时，事件A的频率
fn(A) 具有一定的稳定性：即当试验次数 n充分大时，频率 fn(A) 总在一个确定的数字附近摆动 例1 古代学者摩根(Morgan)、蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Peason)，分别做 了多次抛掷硬币的试验，观察正面出现的次数，记录结果如表1-1所示
例 某工人加工三个零件，设A i 表示事件
“第 i个零件是合格品”i( =1，2，3)，试用A1 ，A 2 A，3 表示下列事 件：
(1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品．
解 四个事件分别设为 A ，B ，C ，D ，则有
0.5005
从表1-1可以看到，当试验次数 n很大以后，频
率 fn(H) 在0.5附近摆动，并逐渐稳定于0.5．
我们把频率 fn (A) 围绕摆动的稳定值 p，就叫做事件
A 的概率，即有概率的统计定义如下：
2．概率的统计定义
定义2 在相同的条件下重复进行 n次试验，如果当 n增大时，
则A称事常件数的p频为率事件fnA(A的) 概nnA率稳，记定
表 示 事 件i“ 第 一 次 出 现 j
则
该试验的基本空间为
{i,j()|i,j 1 ,2 , ,6 }，
点(i,j，1 第,2,二 次,6)出 现
共有 n36个基本事件．
设 A表示事件“两次出现的点数之和等于8”，B 表示事
件“两次出现的点数相同”．则A 包含n有A 5
事
个基本
件
A={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}，
fn
(A)
nA n
．
设试验 E的基本空间为，A 为 E 中的随机事件，A1,A2, ,Am为 E中两两
互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：
性质1 0≤ fn (A) ≤1．
性质2 fn()1 ．
性质3 f n ( A 1 A 2 A m ) f n ( A 1 ) f n ( A 2 ) f n ( A m ) ．
(2) 常用的排列公式
1°从n个不同元素中任取k( k≤ n)个元素(不允许重复)排成一列，
称为选排列，共有
A n k(n n !k) !n(n 1 )n (2 ) (nk 1 )
种排列方法．
特别当 k n时， n个不同元素的全排列种数为
P n n ! n ( n 1 )n (2 ) 3 2 1 ．
B包含有 n B =6个基本事件 B{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，
所以
P(A)nA 5 ， n 36
P(B)nB 6 1． n 36 6
3．排列组合简介
有些古典概型中基本事件总数 n与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件A所包含的基本事件数 n A ，需用排
列组合的公式来计算．
．其中 n是抛掷硬币的次数，H表示事件“出现正面”nH， 是在n 次 试验中正面出现的次数fn(，H) 表示n 次试验中正面出现的频率．
表1-1
实验者
试验次数
正面出现次数
频率
摩根
2048
1010
0.4932
蒲丰 皮尔逊
4040 12000
2048 6019
0.5069 0.5016
皮尔逊
24000
12012
(1) 加法原理与乘法原理
加法原理：如果进行某过程有种 m方式，而第种 i 方式有 k i 种方法 (i1,2, ,m) ，则完成该过程共有 k1k2 km 种方法．
乘法原理：进行某过程必须经过 m个步骤，而第个 i 步骤有 k i 种方法 (i1,2, ,m)，则完成该过程共有 k1k2km种方法．
地在某一常
P(A)p
数
p附近摆动，
为 根据这一定．义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事
件概率的近似值．
二、古典概型 1．等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型：
(i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间，
{ 1,2, ,n}；
(ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的．
．
3
H
2
H
H 1
T H
T
T
H
H
T
T
H
T T
基本事件总数为 n8．事件 A所包含的基 本 事件有3个： A{HT,TTH,TTT，}H 于是有
P(A) nA 3 ． n8
例3 将一颗匀称的骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率；
(2)求两次出现的点数相同的概率．
解 (用i, j) 点”．
例2 将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概 率．
解 设H表示事件“出现正面”T， 表示事件
“出现反面”A， 表示事件“ 恰有一次出 现正
面”．
这是一个等可能概型，基本空间为 { H ,H H ,H H , H H T ,T T H ,T H T ,T H H ,T T } T T H T
第二节 概率的古典定义
在一个试验中，有许多随机事件．一个事件在一次试验中可能发生，也
可能不发生．有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小．概率就 是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标．
一、概率的统计定义 1．频率
果fn事定(A件义) ，A1即发设生A的为次试数验为En中A ，的则一称个事nnA 件为，事把件试A验在En在次相试同验条中件发下生重的复频进率行，n记次为，如
2°从n个不同元素中任取k 个允许重复地排成一列，共有 n k 种
2．古典概率
定义3 设 A为等可能概型E中的一个事件，E的基本事件总
数为 n， 事件 A所包含的基本事件数为 n A ，称
nA n
为事件
A的概率，记 为 P( A) ，即
P(A)事件 A基 包本 含事 的件 基总 本数 事 n件 nA 数． 概率的这个定义，称为概率的古典定义，此定义中的概率称为古典概 率．