大学物理简明教程习题解答
习题一
1-1 ｜｜与有无不同?
和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?
试举例说明．
解：（1）
是位移的模，是位矢的模的增量，即
，
；
（2）是速度的模，即. 只是速度在径向上的分量.
∵有（式中叫做单位矢），则 式中就是速度径向上的分量，
∴
不同如题1-1图所示.
题1-1图
(3)
表示加速度的模，即
，是加速度在切向上的分量. ∵有表轨道节线方向单位矢），所以
式中就是加速度的切向分量.
(
的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r ＝，然后根据=，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度
的分量，再合成求得结果，即
=
及=
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，
r ∆r ∆t d d r t d d r t d d v t d d v
r
∆∆r r ∆1
2r r -=1
2r r r ϖ
ϖ-=∆t d d r t d d r ==v t s d d t r
d d r r ˆr =r ˆt ˆr ˆt
r t d d d d d d r r
r +=t r
d d t r t d d d d 与r t d d v t v a d d ϖ
ϖ=
t v d d a ττϖϖ(v =v t v t v t v d d d d d d ττϖϖϖ+=dt dv
t t r d ˆd d ˆd τϖϖΘ与x x t y y t 2
2y x +v t r d d a 22d d t r
v 2
2d d d d ⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x a 2
22
2
22
d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x j y i x r ϖ
ϖϖ+=
故它们的模即为
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即
量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。 1-3 一质点在
平面上运动，运动方程为
=3+5, =2+3-4.
式中以 s 计，,以m 计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s 时刻到＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时
质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有
(3)∵
∴
j
t y i t x t r a j
t y i t x t r v ϖϖϖ
ϖϖϖϖ
ϖ222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴2
222
222
22
22
2d d d d d d d d ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 2
2d d d d t r a t
r
v ==
2
2d d d d t r
t
r 与t r d d 2
2d d t r ⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-=2
22d d d d t r t r a θ径r ϖr ϖ
v ϖxOy x t y 21
t t t x y t t
t t t t t t t j
t t i t r ϖϖϖ
)4321()53(2-+++=m 1=t 2=t j i r ϖϖ
ϖ5.081-=m j j r ϖϖϖ
4112+=m j j r r r ϖϖ
ϖϖϖ5.4312+=-=∆m j
i r j j r ϖϖϖϖϖϖ
1617,4540+=-=1
04s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j
i r r t r v ϖϖϖϖϖϖϖϖ
(4)
则
(5)∵
(6)
这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
(m ·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知
将上式对时间求导，得
题1-4图
根据速度的定义，并注意到,是随减少的，
∴
即
或
将
再对求导，即得船的加速度
1
s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v ϖϖϖϖj i v ϖϖϖ734
+=1s m -⋅j
i v j i v ϖϖϖϖϖϖ
73,3340+=+=2
04s m 1444-⋅==-=∆∆=j v v t v a ϖϖϖϖϖ2
s m 1d d -⋅==j t v a ϖ
ϖϖy 0
v 1-s l θ2
22s h l +=t t s s
t
l l
d d 2d d 2
=l s t t s v v t l v d d ,d d 0-==-
=船绳θcos d d d d 0
0v v s l
t l s l t s v ==-=-=船s v s h s lv v 0
2/1220)(+=
=船船
v t
