一元一次不等式的解法(提高)知识讲解

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解一元一次不等式的概念；

2.会解一元一次不等式．

【要点梳理】

【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503

x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1．

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；

(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．

要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左．

【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念

1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？

（1）0x > （2）1x

1-> （3）2x 2> （4）3y x ->+ （5）1x -= 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．

【答案与解析】

解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．

【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式

2.解不等式：2

5x 03.0x 02.003.05.09.0x 4.0->+-+，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．

【答案与解析】 解：将分母变为整数，得：2

5x 3x 2359x 4->+-+ 去分母，得：)5x (15)x 23(10)9x 4(6->+-+

去括号，合并同类项，得：99x 11->-

系数化1，得：9x <

这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：

【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三： 【变式】解不等式：2x ]2)14

x (

32[23<--- 【答案】 解：去括号，得

2x 314

x <--- 移项、合并同类项得：6x 4

3<- 系数化1，得8x ->

故原不等式的解集是8x ->

3.m 为何值时，关于x 的方程：6151632

x m m x ---=-的解大于1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m 表示x ），然后解不等式．

【答案与解析】

解： x-12m+2=6x-15m+3

5x=3m-1

315

m x -=

由3115m -> 解得m ＞2

【总结升华】此题亦可用x 表示m ，然后根据x 的范围运用不等式基本性质推导出m 的范围． 举一反三：

【变式】已知关于x 方程3

x 23m x 2x -=--

的解是非负数，m 是正整数，则=m ． 【答案】1或2

4.已知关于y ,x 的方程组⎩

⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3的解满足y x >，求p 的取值范围． 【思路点拨】先解出方程组再解不等式．

【答案与解析】

解：由⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3，解得：⎩

⎨⎧--=+=7p y 5p x ∵y x >

∴7p 5p -->+

解得6p ->

∴p 的取值范围为6p ->

【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出y ,x 的具体值．

类型三、解含字母的一元一次不等式

5．解关于x 的不等式：(1-m)x>m-1

【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m ），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m 的符号我们不知道？故需分类讨论．

【答案与解析】 解：当1- m ＞0既m ＜1时，原不等式的解集为：x ＞-1；

当1- m ＜0既m ＞1时，原不等式的解集为：x ＜-1；

当1-m=0既m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．

【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：

若ax ＞b （a ≠0）， 当0a >时，不等式的解集是b

x a

>； 当0a <时，不等式的解集是b

x a <．