二元一次方程组的相关概念(提高)知识讲解

二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解

【学习目标】

1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；

2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.

【要点梳理】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：2,

5.x y =⎧⎨

=⎩

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如⎩

⎨

⎧=-=+520

13y x x 也是二元一

次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成

x a

y b =⎧⎨=⎩

的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组25

26

x y x y +=⎧⎨

+=⎩无解，

而方程组1

222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩

的解有无数个．

【典型例题】

类型一、二元一次方程

1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣

1+2y |m

﹣1|

=m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．

【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答． 【答案与解析】

解：∵（m ﹣2）x n ﹣

1+2y |m ﹣

1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程， ∴n ﹣1=1，|m ﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2，

若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．

举一反三：

【变式1】已知方程3

241252

m n x y +--

=是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2，

14

【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程． 【答案】1±；11-或

类型二、二元一次方程的解

2.已知

是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，求m 的值．

【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【答案与解析】 解：∵

是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，

∴2×2﹣6m ×（﹣1）+8=0， 解得m=﹣2．

【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．

举一反三：

【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是1

1

x m y m =-⎧⎨=+⎩，求m 的值.

【答案】

解：将11x m y m =-⎧⎨=+⎩

代入方程2x-y+m-3=0得2(1)(1)30m m m --++-=，解得3m =.

答：m 的值为3.

3.写出二元一次方程204=+y x 的所有正整数解.

【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏. 【答案与解析】

解：由原方程得x y 420-=，因为y x 、都是正整数， 所以当4321，　，　，　=x 时，481216，　，　，　

=y . 所以方程204=+y x 的所有正整数解为：⎩⎨

⎧==161y x ， ⎩⎨⎧==122y x ， ⎩⎨⎧==83y x ， ⎩⎨⎧==4

4

y x .

【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为

正整数才是符合题意的解. 举一反三： 【变式1】已知是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7的解，求a 的值．

【答案】 解：把

代入方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7，可得：

2a+3（2a ﹣3）=7， 解得：a=2．

【变式2】在方程0243=-+y x 中，若y 分别取2、4

1

、0、－1、－4，求相应的x 的值. 【答案】将0243=-+y x 变形得3

42y

x -=

. 把已知y 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

y

2

41 0 －1 －4 3

42y

x -=

－2

3

1 3

2 2

6

类型三、二元一次方程组及解

4.甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨

-=-⎩①②

由于甲看错了方程①中的a ，得到方

程组的解为31x y =-⎧⎨

=-⎩．乙看错了方程②中的b ．得到方程组的解为5

4

x y =⎧⎨=⎩．试计算：

2011

2010

110a

b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

的值．