2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。将
OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）
A ．(13)，
B ．(33)，
C ．(33)，
D ．(31)， 【答案】 B
【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，
。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A
【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38- 【答案】 D 【解答】方程
22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。
若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。
若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则
m
n
=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74
【答案】 C 【解答】依题意，
m IC
n ID
=
。 由I 为ABC △的内心知，IC AC BC
ID AD BD
==
。 所以，由等比定理知，
73563
m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）
A ．
403 B ．64
15
C ．13615
D ．315 【答案】 C
【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-
，即x =
，y =
x =
，y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即12
5
m =。
∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，
即x =
y =
x =
y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即20
3
M =。 ∴ 20121363515
M m +=
+=。 或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
（第4题）
A
B
C D
I
设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =
，将t
y x
=代入2244x xy y -+=， 得2
2
244t x t x
-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①
由22(4)160t t =+-≥△，解得44
53
t -≤≤。
将43t =
代入方程①，解得283x =
，3x =±；45t =-代入方程①，
解得28
5
x =
，5x =±。 ∴ xy 的最大值为
43，最小值为4
5
-。 因此，820433M =+=，812455m =-+=，2012136
3515
M m +=+=
。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。
【答案】 1
12
k -≤≤
【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-⎧⎨=+⎩，得(2)3k x -=- ……………… ①
依题意，方程①有12x ≤≤的解。 ∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。故k 的取值范围为1
12
k -≤≤。 或通过作图求解。
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若
25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 【答案】 27
【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则
AF AE
AC AG
=。 又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。
F B
C
A
D E
（第7题）
