立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；
（第1题图）
D
E B
1
A 1
C 1
C
A
B
F
M 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，
M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：
（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.
分析：连
EA ，易证
C 1EAD
是平行四边形，于是
MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD
CD BD BC AM EFG AM EFG ///
ABC A B C -90BAC ∠=2,AB AC ==/A B //B C 求证：AB 1明:
BC 1证：AP ∥GH .
A
B
C
D
E
F G M
F
G
G
C
D
E
C
D
E
F
P
E
D
C B
A
利用平行四边形的性质
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，求证： D 1O 2
1
中点为PD E 求证：
AE ∥平面PBC ；
12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
利用对应线段成比例
13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点， （1）
SM AM =ND
BN
， 求证：MN ∥平面SDC
（2）AM DN
SM BN
=
, 求证：MN ∥平面SBC
（6） 利用面面平行
15、如图，三棱锥ABC P -中， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，
且2AF FP =. 求证：//CM 平面BEF ；
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是
AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ；
（3）求三棱锥11C CDB -的体积。
分析:取A 1B 1的中点E ，连结C 1E 和AE ，易证 C 1E ∥CD,AE ∥DB 1，则平面AC 1E ∥DB 1C,于是
11CDB //平面AC
N
M
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
17在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;
(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.
