相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型

考点一：相似三角形的判定与性质：

例1、如图，△ PCD是等边三角形，A、C D B在同一直线上，且/ APB=120

求证：⑴厶PA3A BPD ⑵ CD =AC • BD.

例2、如图，在等腰△ ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合)，在AC上取一点E,使/ ADE=45

(1)求证：△ ABM A DCE

(2)设BD=x AE=y,求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？

(3)在AC上是否存在点E,使得△ ADE为等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由？

例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE± BC,垂足为E,连接DE F为线段

DE上一点，且/ AFE=/ B：

1)求证：△ AD3A DEC

2)若AB=4, AD 3 一3 ,AE=3，求AF 的长。

考点二：射影定理：

例4、如图，在Rt △ ABC中，/ ACB=90 ,CD丄AB于D, CD=4cm,AD=8cm求AC BC及BD的长。

1

例5、如图，已知正方形ABCD E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF* AD, EGLCF于

4

点G,

(1)求证：△ AEF^A BCE (2)试说明：EG=CG・ FG.

例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABC(AD>AB,将纸片折叠一次，使点A与点C重合, 再展开，折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若AE=10cm △ ABF的面积为24cm2，求△ ABF的周长；

(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE = AC- AP?若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

例10、如图：已知在等边三角形 ABC 中,点D E 分别是AB BC 延长线上的点，且 BD=CE 直线CD 与

AE 相交于点F .

(1) 求证：DC=AE

(2) 求证：AD=DC?DF.

考点三：相似之共线线段的比例问题:

例7、 长线、 已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD BC CD 的延 AB 的延长线分别相交于点 E 、F 、G H. PE PH

ABCD 的对角线BD 上一点，连接

CP 并延长，交 AD 于点E ,交BA

的延长线于点F .

(1) 求证：P C=PE ?PF ；

(2) 若菱形边长为 8, PE=2, EF=6,求

FB 的长.

例9、如图，CD 是 Rt △ ABC 斜边上的高, E 为AC 的中点，ED 交CB

的延长线于F .

求证:

求证：BD?CF=CDDF.

例11、如图，E是矩形ABCD勺边BC上一点，EF丄AE EF分别交AC, CD于点M F, BGLAC, 垂足为G, BG交AE于点H.

(1)找出与△ ABH相似的三角形，并证明；

(2)若E是BC中点，BC=2AB AB=2,求EM的长.

例12、如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接AE、CG AE与CG相交于点M, CG与AD 相交于点N.

求证：(1) AE=CG (2) AN?DN=CNMN

例13、如图，在Rt△ ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上, DH± BM且与AC的延长

例14、如图，△ ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CDLAB于D, E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

2

(1)求证：FD=FB?FC;

(2) AE?CM=ACCD

线交于点E.求证:

例15、如图，四边形ABCD CDEF EFGH都是正方形

(1) " ACF与"ACG相似吗？说说你的理由.

⑵求/ 1+Z 2的度数.

考点四：相似三角形的实际应用：

例16、如图，△ ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm高AD=80mm要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB AC上.

(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？

(2)若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？

例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m两树的根部的距离BD=5m

一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C?

B D

例18、两颗树的高度分别为 AB=6m CD=8m 两树的根部间的距离 AC=4m 小强沿着正对这 两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6m ，当小强与树AB 的距离

小于多少时，就不能看到树 CD 的树顶D

例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围 墙，大树的影子不全落在地面上， 如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m 地面影长BC=10m 若此时1米高的标杆的影长恰好为 2m 请你求出这棵大树 AB 的高度.

例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地

面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30。角，且此时测得1米杆的影长为2米,

例21、如图，有一路灯杆 AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点 D 处测得自己的 影长

DF=3n ,沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长 FG=4m 如果小明的身高为 1.6m , 求 路灯杆AB 的高

度.

-4

C

4