几何发展史全解

几何发展史

组长：杨锦波高一13班

组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云

指导老师：李朗庭

英语摘要

As a middle school student, has learned a good few years of the geometry. However, we geometric understanding of the historical status Have great deficiencies. We do not know its civilization What is the significance, I do not know why we should learn from this class (other That is to the college entrance examination! ), Let us look into its history!

However, there are really some massive object, ` Therefore, we only research papers of the guidelines

1、问题提出：

作为一名中学生，已经学了好几年几何了。可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。

2、研究目的：（三个有助于）

（1）有助于对几何的总体的结构认识

（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位

（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）

3、研究方法：

（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；

（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；

（3）认真分析总结，写成论文.

4、正文

几何史研究

杨锦波

以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。在阅读前，最好先看附录。

1 欧几里得的乐园

古希腊，一个民主的国度。在那片土地上，孕育出了理性和智慧的果实。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。

欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。由极少数的几条公理出发，演绎出整个的几何体系，成为万世师表。

之后，古希腊又出现了一位伟大的数学家——阿基米德。

阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学. 他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大,它已经将等於这个观念跨向"任意趋近於"的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:

3.1408<π<3.142858

阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果),同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家).阿基米德的去世,可代表著希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作"The Method",在当时引起一阵轰动.

其实，推动几何学发展的数学家，学者，还有许多。如阿波罗尼阿斯、托勒密、帕布斯等等。

后来，由于罗马人、基督教的兴起、回教徒征服，古希腊的几何学衰退了。直到文艺复兴时期才得以再次发扬光大。

到这里为止，欧几里得几何学建立了。她是直观清晰和严谨逻辑的完美结合，代表着人类对空间的一个时代的认识。世界是有序的，平直的，而这种时空观在上世纪才被打破。

2．美梦该醒了

费马、笛卡儿创立了解析几何，以及画法几何的创始人蒙日的学生彭赛列创立射影几何。关于平直空间的几何理论日臻完善。无数人仰望着欧几里得的乐园。

但是，风雨前总是平静的。

门，就是第五公设。

一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

虽然如此，但人们认为，新几何与我们的现实世界里的空间毫不相干，直到那个时候……

20世纪初，爱因思坦在解决狭义相对论与牛顿万有引力定律的矛盾时，提出了一种新思想。这就是认为，我们生活在其中的现实空间，由于物质具有质量而被弯曲。非欧几何中的黎曼几何正是描述它的良好工具。

后来，这种思想发展为一个完备的理论——广义相对论。由此又可以引出“宇宙大爆炸”模型，彻底改变了我们对时空、宇宙的观念。

霍金说：“世界在上世纪的变化超过了以往任何世纪。原因不是新的经济或政治教义，却是由于基础科学的进步引发技术的巨大发展。还有谁比爱因斯坦更能代表呢？”

就是这样，那欧几里得的乐园的美梦被打破，但醒来之后就获得了累累硕果。

3．今天