基本不等式及应用

基本不等式及应用

一、考纲要求：

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法．

(1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2

)2

(a ，b ∈R)

(3)a 2＋b 2

2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)

上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的

算术平均数不小于它们的几何平均数．

四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号.

五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．

(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14

S 2

.

强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，

应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.

2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）

想一想:错在哪里？

+≤≤2

a b ≤+2ab

a b

１．已知函数，求函数的

最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112.

f x x x x x x =+≥===±

解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值．

)2(23)(>-+=x x x x f 3()2223326f x x x x x x x =+≥->⎧⎪=⎨=⎪-⎩解：当且仅当即时，函数的最小值是

3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1

y

)的最小值为________．

解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1

y )≥4，所以z 的最小值是4.

解二：z ＝2＋x 2y 2

－2xy xy ＝(2

xy

＋xy)－2≥2

2

xy

·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2

－2xy xy ＝2

xy

＋xy －2，

令t ＝xy ，则0

t 有最小

值

334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值25

4

. 误区警示：

(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3

x

(x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 课堂纠错补练：

若0

sinx

的最小值为________．

解析：令sinx ＝t,0

t

在(0,1]单调递减，∴t ＝1时y min ＝5.

答案：5

考点1 利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(2

2

2

2

2

2

c b a abc a c c b b a ++≥++

（2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++

（3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1

b

≥4.

【证明】 (1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2

b a ·a b ＝4(当且仅当a ＝b ＝1

2

时等号成立)． ∴1a ＋1

b

≥4.∴原不等式成立． 练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1

c

－1)≥8.

证明：∵a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1

c －1) ＝

1－a

1－b

1－c

abc

＝

b ＋

c a ＋c a ＋b

abc

≥2bc ·2ac ·2ab abc

＝8.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3

时取等号．

考点2 利用基本不等式求最值

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

例4： (1)设0

的最大值．

【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件

【解】 (1)∵00，

∴y ＝x

4－2x ＝2·x

2－x

≤2·x ＋2－x

2

＝2，

当且仅当x ＝2－x 即x ＝1时取等号，