光波导基本理论

线性独立本征解的线性叠加
从量子力学的角度来看平板波导对光的束缚
Helmholtz equation:
[2x k02n2 2 ]U ( x) 0
Schrödinger equation:
[
1 2m
2x
V
E]
(x)
0
x
nclad
V
ncore
?
V0
E3
nclad
E2
n nclad ncore
Vwell
nlow
平板波导
2-d 光限制
core
nlow
nhigh
cladding
条形（矩形）波导
nlow nhigh nlow 脊形波导
cladding core
阶跃折射率光纤
渐变折射率 (GRIN) 光纤
基本概念回忆：内反射
光在玻璃里入射到与空气交接的界面上 air glass
将发生什么?
内反射
当入射角很小时
集成光电子学导论
第一章 光波导基本理论 宋军
平面光波导的类型
按几何形状划分： ➢ 平板波导 ➢ 条形波导 ➢ 脊形波导 按折射率分布划分： ➢ 阶跃型 ➢ 渐变型
一维受限（平板）和二维受限（条形）
波导
Y
X
Z
Y X
平面光波导的类型
1-d 光限制
cladding core
nlow nhigh
cladding
光密光疏
思考：全反射时发生的 相位变化大小怎么求？
只要想到反射折射的大小变化，首先 想到菲涅尔公式
rTE
(或rs
)=
n1 n1
cos1 cos1
n2 n2
cos cos
2 2
代入折射定律n1 sin1 n2 sin2
当全反射发生时
根号为虚数，因此此时的 反射系数为一复数
k
→
→
β
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
还需满足解出的θ大于临界角
sin c
n2 n1
影响平板波导本征解数量的因素
芯层厚度越厚，解越多 芯层折射率越大，解越多 芯层包层折射率差别越大，解越多
光 强
E3
E2
E1
-h
0
任意波导的本征解
注意前面只是对最简单的三层平板波导结 构分析获得的。而对更复杂的波导，求解 思路一样，但解的形式会更复杂。
x
Hz
z
H
x
思考，E、H切向连 续条件怎么用？
Ey、Hz在界面处连续
n2
连续 连续
连续
连续
TE偏振的本征方程
思考：该式是否可以化简成一个更简明的形式？
tan
12
p
tan
13
q
思考：该方程中各字母的物理意义
是相位 的单位
1、2界面 反射时产 生的相位
K为x方向的 波矢
2 h 2m 212 213
思考：如果光纤里有两个模，他们之间 是否会能量传递？
条形波导中的模式
光在波导里的传输
思考:
light 如果光在一个多模条
形波导里面传输, 我
?
们能在输出截面上看 到什么?
A
B
C
D
光在波导里的传输
当波导芯层是宽500nm，厚
220nm的硅，包层是二氧化 light 硅时，只存在一个模
?
如果芯层和包层宽度都变为1微米
波导内入射角 > c 全反射形式稳定传输
波导的数值孔径
如果将光耦合进入波导稳定传输，那么 在空气中的入射角应满足什么条件
波导数值孔径
sin min
n2 n1
;
全反射临界角
最大入射角, 0max可以从Snell’s定律求得
n sin0max n1 sinc n12 n22
数值孔径:
NA n sin 0 max n12 n2 2 n1 2
n1 n2 n1
集成光电子学构成的基本形式
光纤 平面光波导
平面光波导理论
——电磁场分析与射线分析
为什么要研究这个问题？
能对物理光学、激光原理的一些重要概念有更 深入的认识
能理解光通信的作用原理 是基于光纤波导应用方向，如光纤传感等得以
存在的根本所在
以下分析过程会不断提问，请紧跟我的 思路，理解了整个过程，是掌握以上问 题的关键！
思考：从射线光学的角度，不同 模式沿z方向传输速度不同，这会 导致什么后果？
平面波导的模式
H
e
E
E
t
H
t
E 0
H 0
麦克斯韦方程组可以精确的描 述任意电磁波的物理行为。
在给定边界条件下，麦克斯韦 方程组的本征解被定义为“模”
在自由空间里，麦克斯韦方程 组有无穷多解，且解连续
但当光在某个方向上受限时， 方程组的解开始被限定了，限 定条件越苛刻，解的数量，即 模式数量就越少
平板波导中TE偏振光的模
Em (x, y, z,t) ex fm ( y) cos(ωt mz)
m 0,1, 2,3 (模数)
y z
思考：线性代数求解过程的物理含义
在线性代数里什么叫做本征解？
本征解具有什么特征？ 正交独立
“模”：麦克斯韦方程组在给定边界条件下的 本征解。
边界条件：即给定的光学结构，在集成光电子学里，即给定的 波导结构，如三层平板波导、同心圆柱形的光纤、矩形横截面 的波导等
Unnfortunately quantum tunneling does not work for cars!
nSi
nSiO2
x QM analogy V
x Tunneling!
波导间的能量耦合 基于波导的集成光电子器件波
导间不能靠的太近，为什么？
x
V
WG 1
WG 2
Cladding
0z -h
光 强
E3
E2
E1 x
-h
0
指数衰减
思考：为什么会有个指数衰减的尾巴？
以TE偏振为例：
猜想其在Ey分量 在x方向的场分布 满足什么形式， 电磁场才能稳定 向z向传播
然后使用边界连续条件 E、H切向连续 D、B法向连续
以TE偏振为例
Hx
1 jω μo
z
Ey
Hz
1 jω o
x
Ey
Ey
1 jωe
思考：解的数量还和什 么因素有关？
还需满足解出的θ大于临界角
sin c
n2 n1
影响平板波导本征解数量的因素
芯层厚度越厚，解越多 芯层折射率越大，解越多 芯层包层折射率差别越大，解越多
多模干涉
波长相同、相差恒定、
请思考相干条件
振动方向相同
不同模式是否符合相干条件？
对一个多模波导或光纤，你是否 能辨别出每个模式？
r
Incident light
Reflected light
(a)
sin c
n2 n1
2 90
c
Critical angle
(b)
Evanescent wave
1
c
1
TIR
(c)
1 c and total internal reflection (TIR).
sin c
n2 n1
[2.1-4]
E1 x
• 离散的传播常数值
• 波导越宽折射率差越大，可容纳的模 数就越多
1-d potential well (particle in a well)
• 离散能级 (能态) • 势阱越深将支持更多的能级
硅片上的条形波导
x Single-crystal Silicon
Silicon oxide cladding Silicon substrate
古斯汉欣位移
思考：这个位移Δ究竟有多大呢？
TM偏振的本征方程
前面讨论都是由电磁场理论，对TE偏振求解获得的，对 TM偏振也可以获得类似的解
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
思考：和TE偏振相比，上式有何区别？
rs
=
n1 n1
cos1 cos1
n2 n2
cos2 cos2
影响解的数量的因素是一样的（芯层尺寸、 芯层折射率、芯层和包层间的折射率差）。
思考：光纤的基本结构
为何使用包层？ 为何波导材料是二
氧化硅而不是硅？ 为何光纤芯层厚度
在8-10微米左右？ 为何包层和芯层的
折射率差别只有不 到1%？
为了让最后的本征解有且只有一个！思考原因
多模色散
现在是否理解光通信 为何要用单模光纤？
• 入射能量分为反射和折射两束：强度满足菲涅尔定律.
• 折射角 < 90o
air glass
入射光线
反射光线
内反射
• 随着入射角 , 折射角
• 当折射角 = 90
• 此时的入射角 = 临界角 C
air
折射光线
glass
CC
入射光线
反射光线
内反射
• 如果入射角继续 , 不再有折射光线出现
air glass
入射偏振态
p-polarization:
TM E-field 平行于入射平面
Ex E
Hy
Ez
x=0
1
e1
y z
e2
2
-x
s-polarization:
TE E-field 垂直于入射平面
Hx H
Ey
Hz
x=0
1
e1
y z
e2
2
-x
回忆：在电磁场与电磁波的学习中是 如何分析图示的平板波导结构的？
rp
=
n1 n1
cos2 cos2
n2 n2
cos1 cos1
思考：为什么光纤由芯层和包层组成， 只有芯层行不行？
根据以上知识猜测光纤传感及集成生 物检测芯片的物理原理
光在光纤中传输时，感测外界环境变化对光的 强度,波长,频率,相位,偏振态等光学性质的变化 的影响
思考：下面的光栅主要损耗来源
思考：原 因
内容回顾
k
→
→
β
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
tan
12
p
思考：κ和β分别具有什么物理意义？
k0n1 sin
k0n1 cos
思考：波导芯层厚 度对解的数量有什 么影响？
思考：波导芯层折
射率n1对解的数量 有什么影响？
h k0n1h cos
思考：一只鱼或一个潜水员在水下仰望天空， 大概是什么样的？
鱼眼看天空
全反射
water
水下的天空
为什么图片中天空是这样的
sky(refraction here)
total internal reflection here
平面波导射线分析
光线只有全反射才能在波导里稳定传输
n2 n1 > n2
入射光线
反射光线
内反射
• 因此加入入射角 > C,
光将全部留在玻璃里面.
air glass
入射光
• 这被称为 全内反射.
反射光
临界角
Snell’s 折射定律:
n1 sin 1 n2 sin 2
全内反射：临界角
Transmitted
(refracted) light
2
k t n2
k
i
1
n1 > n2 k
n1 n2
如果n1是硅，折射率为3.4；n2是空气， 折射率为1 光栅尖角为45度
思考：从上次课可以看到，光要想耦 合进入波导或光纤稳定传输，入射角 必须小于某个值θ0，但是否只要小于 该角度就能稳定传输呢？
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳 定传输。每个m取值代表本征方程的一个解。
TE偏振 TM偏振
1 H x jω μo z E y
Hz
1 jω o
x
Ey
Ey
1 jωe
x
Hz
z
H
x
1 Ex jωe z Hy
Ez
1 jωe
x
Hy
Hy
1 jω o
x
Ez
z
Ex
思考：中Hale Waihona Puke Baidu折射率大，上下折射率小，
在这样的平板波导里光场是如何分布
的？
指数衰减 x
正弦余弦振 荡
每个交点就是 关于κh方程的 一个解
k0n1 cos
例如n1 1.454,
0 1.55m h 1m 估算 h的值
h 1.8761cos
思考：波导芯层厚 度对解的数量有什 么影响？
思考：波导芯层折
射率n1对解的数量 有什么影响？
h k0n1h cos
思考：解的数量还和什 么因素有关？
tan
12
p
思考：κ和β分别具有什么物理意义？
k0n1 sin
k0n1 cos
思考：全反射时的相位变化究竟怎么 产生的？
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
思考：光在传输过程里如何产生相
位变化？
E Aexp j k r
相位不存在突变之说，相位的产生途径只有一个，
所以，能够稳定传输的θ0是不连续的。
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
对s（TE）偏振，
k0n1 cos p 2 k02n22 q 2 k02n32 k0n1 sin
以 h 为变量，对方程左右两边分别
作出曲线
假设n2=n3，即p=q
本征方程
假设n2=n3，即p=q
即传输一段距离，即相位变化源自于
思考：从以上分析可以得到什么必然 结论？
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
E Aexp j k r
全反射时，光不是于入射点终止，而是 前进了一段又回来了
古斯汉欣(Goos-Hanchen)位移
在全反射发生时， 实际入射光会部 分进入光疏介质， 形式上相当于反 射点相对入射点 有个偏移距离
1、3界面 反射时产 生的相位
从射线光学角度重新分析 TE偏振的本征方程
2 h 2m 212 213, m 0,1, 2...
思考：光在1、2和1、3表面全反射时分别产生了一 个附加相位，为什么？
tan
12
p
tan
13
q
思考：全反射时相位是否会发生改变？
入射角对反射系数相位的影响
光疏光密