九年级数学-二次函数几种解析式的求法
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二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考
试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函
数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2
+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2
-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax 2
+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2
+bx+c. 二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x 2
+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2
+8x-9
的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21
∴y=21x(x-3),即 y=x
x 23
2
12 . 三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2
+k.在本题中可设y=a(x+1)2
+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-,
4)1(21
2++x 即y=-.27
2
12+
-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型
例 4 二次函数y=x 2
+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函
数
,122
+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式，将函数y=x 2
-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
∴y=x
3)3(2
2
--=++x c bx =x .662
+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax 2
+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a
∆就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2
+8x-6. 六、识图型
例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212
其中一条的顶点为P ，
另一条与X 轴交于M 、N 两点。
（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？ （2）求两条抛物线的解析式。
解 （1）抛物线y=c
x b x +++)2(212
与x 轴交于M ，N 两点（过程从略）； （2）因y=d
x b x +-+)2(212
的顶点坐标为（0，1），
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.
∴Y=1212
+x .
将点N 的坐标与b=2分别代入y=2
21x +(b+2)x+c 得c=6. ∴y=2
21x
+4x+6
七、面积型
例 7 已知抛物线y=x c bx ++2
的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），
与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。求其解析式。
解 将（0，-3）代入y=c bx x ++2
得 c=-3.
由弦长公式，得
122
+=b AB
点P 的纵坐标为4122
b --
由面积公式，得
.841212212
2=--⋅+b b
解得.2±=b
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.
所以解析式为y=322
--x x
八、几何型
例 8 已知二次函数y=2
x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。
解 由弦比公式，得AB=
4)42(42-=--m m m
顶点C 的纵坐标为-4)4(2
-m
∵ΔABC 为等边三角形
∴4
321
4)4(2-⋅=--m m
解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2
+++-x x
或y=
344)324(2-+--x x 九、三角型
例 9已知抛物线y=c bx x ++2
的图象经过三点（0，2512
）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且
A 、
B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 ∵A+B=900
，∴sinB=cosA.
